Abstand zweier Ebenen

Hallo!
Hier ist der 2. Teil der Aufgabe.
Und da muss ich noch etwas nachtragen. Das war nicht ganz die Parameterform. Jetzt ist es eine. Das heißt also, alle Vektoren, die diese Form haben, wenn man für λ und μ etwas einsetzt, die liegen in der Ebene, die durch den Punkt G verläuft und parallel zu dieser Dreiecksebene ist. Da unten ist die Koordinatenform.
Und jetzt brauchen wir nur noch den Abstand der beiden Ebenen zueinander. Den Abstand zweier Ebenen rechnet man ja so aus, indem man den Punkt einer Ebene nimmt und den Abstand des Punktes zur anderen Ebene ausrechnet.
Und dazu möchte ich einfach einmal die Formel hinschreiben, nach der man das ausrechnen kann.
Das ist also: d=|(r->-p->)×n0->| Und der Betragsstrich geht auch noch "zu".
Was bedeutet das? Ich muss es eben erklären, weil es manchmal auch anders notiert wird oder weil nach anderen Formeln gerechnet wird, die ein bisschen anders aussehen.
d = der Abstand der beiden Ebenen bzw. des Punktes zur Ebene.
r = der Punkt, um den es geht. Bei uns also wäre das der Punkt G zu dieser Ebene. Diesen Abstand suchen wir.
p = ein Punkt dieser Dreiecksebene hier.
n0 = ein Normalenvektor dieser Dreiecksebene, und zwar ein normierter Normalenvektor, das heißt ein Normalenvektor, der die Länge 1 hat.
Das muss ich jetzt nur noch eintragen und ausrechnen. Das ist lustig.
Und zwar haben wir folgende Situation:Dies ist der Betragsstrich |, der geht schon einmal auf. Dann haben wir Klammer auf (. Und jetzt muss ein Vektor folgen, und zwar der Vektor r. Das ist also der Ortsvektor zu dem Punkt, dessen Abstand zur Ebene wir bestimmen wollen. Das ist der Vektor (444). Unser Punkt G hat diesen Ortsvektor und wir rechnen -p, das ist ein Punkt dieser Dreiecksebene. Ich nehme wieder (004), das ist ja schon angegeben. Das sind schön viele Nullen drin, da muss ich wahrscheinlich nicht so viel rechnen. Wenn man sich das Leben einfach machen kann, insbesondere auch bei Matheaufgaben, dann macht man das auch. Also ich mache es zumindest. ×n0
Wir haben schon hier angegeben, dass ein Normalenvektor dieser Ebene hier (111) ist. Dieser Vektor (111) hat aber nicht die Länge 1.
Man macht das ja über den zweifachen Pythagoras: 1^2+1^2+1^2 und daraus die Wurzel. Das ist die Länge des Vektors, also das ist \sqrt3 und nicht 1. Viele meinen, er müsste dann ja die Länge 1 haben, hat er aber nicht. Er hat die Länge \sqrt3. Das heißt, wenn ich jetzt jede Koordinate dieses Vektors durch \sqrt3 teile, dann bin ich auf der sicheren Seite. Dann habe ich nämlich einen Vektor, dessen Länge tatsächlich 1 ist.
Und deshalb muss ich das hier schön ordentlich hinschreiben: (1/\sqrt3 1/\sqrt3 1/\sqrt3) Und das ist der schöne große Vektor hier. Und da ist der Betragsstrich |. Hier kann ich den Betragsstrich auch noch einmal größer machen.
Und wenn ich das jetzt ausrechne, dann kriege ich den Abstand. Das ist auch gar nicht so kompliziert, das auszurechnen. Ich mache das eben schnell mal vor.
Wir haben: 4-0×1/\sqrt3. Das ist 4/\sqrt3.
4-0=4 ×1/\sqrt3=4/\sqrt3
Das heißt, wir haben schon: 4/\sqrt3+4/\sqrt3=8/\sqrt3
4-4=0×irgendetwas. Das brauche ich nicht mehr auszurechen, da kommt sowieso 0 heraus.
Das bedeutet, der Abstand des Punktes G zur Dreiecksebene und damit der Abstand dieser beiden parallelen Ebenen =8/\sqrt3. Und wir können auch einen Näherungswert angeben, das habe ich heimlich vorbereitet. Das ist ≈4,6. Genauer muss es nicht sein.
Und jetzt müssen wir nur noch schauen, ob das irgendwie hinkommt. Auch für Dich ist das wichtig, wenn Du irgendwelche Klausuraufgaben usw. hast. Kontrolliere bitte immer, ob das sein kann. Versuche das möglichst grafisch zu machen. Wenn Du Hausaufgaben hast, kannst Du ja eben auch so ein Modell bauen dazu. Das ist ja leicht gemacht: Schaschlikstäbchen, Presswatte, zusammenstecken, fertig. Ein bisschen Klebstoff vielleicht darauf. Oder Du kannst auch Modellierwachs nehmen. Dann kann man auch die Schaschlikstäbchen einfach hineinstecken. Das kostet nicht viel, ist schnell gemacht.
Dann müssen wir überlegen, ob das irgendwie sein kann. Hier soll also der Würfel sein mit der Kantenlänge 4. Hier ist eine Ebene drin. Und wir haben gesagt, der Abstand des Punktes G, das ist der hier, zur Ebene ist 4,6. Jetzt ist natürlich die Frage, wie soll ich das denn jetzt sehen können, ob das 4,6 ist? Ich müsste vielleicht wissen, wie groß denn diese Raumdiagonale ist, das Ganze hier.
Das ist schnell gemacht: 4^2+4^2+4^24^2=163×16=48 Und daraus muss ich die Wurzel ziehen, dann habe ich die Länge. \sqrt48 ist fast so groß wie \sqrt49, und das ist 7.
Also im Ganzen ist das fast 7, die Strecke von hier bis hier. Dann kann das gut sein, dass die Strecke bis hier 4,6 ist.
Also ich finde, das ist o.k. Wir haben richtig gerechnet. Ich mache jetzt Schluss. Das ist, glaube ich, das richtige Ergebnis.
Und damit verabschiede ich mich.
Bis bald. Tschüss!