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Transkript Abstand windschiefer Geraden

Thema ist der Abstand windschiefer Geraden. Das ist eine Gerade in ganz allgemeiner Form, der Stützvektor s1, der Richtungsvektor r1, das ist die 2. Gerade mit dem Index 2. Die Geraden sollen windschief sein, wir gehen davon aus, dass wir das schon wissen. Und dann? Wie gehen wir weiter? Die Idee ist jetzt, dass man sich eine neue Ebene bildet mit dem Stützvektor und dem Richtungsvektor der 1. Geraden und dem Richtungsvektor der 2. Geraden. Die Richtungsvektoren sind dann die Spannvektoren der neuen Ebene. Wenn diese beiden parallel wären, würde hier keine Ebene entstehen, deshalb muss Voraussetzung sein, dass sie tatsächlich windschief sind und sich natürlich auch nicht schneiden, sonst hätten wir ja keinen Abstand. Das war es eigentlich, dass man von der Ebene einfach noch den Abstand zu dem Stützvektor der 2. Ebene berechnet. Und das ist der Abstand zwischen 2 Geraden. Das ginge auch umgekehrt, nur wenn man hier s2 nehmen würde, könnte man das natürlich auch machen, dann müsste hier s1 stehen, kein Problem, das ist also beliebig, wie man da vorgeht. Dann wollen wir das einmal durchfriemeln an 2 gegebenen Geraden. Daraus die Ebene kann ich ja mal aufschreiben. Ganz genau besteht die Ebene aus allen Vektoren x, die diese Form haben. Das ist die Ebene, und der gesuchte Punkt zu s2 ist hier. Und dann brauchen wir die Abstandsformel eines Punktes zu einer Ebene. Die Abstandsformel ist folgende. Genau, hier ist es allgemein eines Punktes P zu einer Ebene E, bei uns heißt dann der Punkt natürlich nicht P, sondern s2. Und das ist 1 / den Betrag des normalen Vektors. Hier ist das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Ortsvektor zu diesem Punkt, und d ist wieder das d aus der Koordinatenform, also wenn man A × x1 + B × x2 + C × x3 = d hat, das ist dieses d, was dann also auf der rechten Seite der Koordinatenform der Ebene steht, also der Koordinatenform dieser Ebene. Jetzt können wir so vorgehen, dass wir hieraus mit dem Kreuzprodukt den normalen Vektor ausrechnen erst einmal. Dann kann ich noch dazu sagen: Kreuzprodukt schreibt man dann auch mit einem Kreuz, das kann man natürlich auch anders. Das jetzt ausgerechnet ist 7, -9, -7. Das ist der Normalenvektor. Da kann ich jetzt noch dazu sagen: Viele haben das Kreuzprodukt nicht gehabt, man kann es natürlich auch über ein Gleichungssystem ausrechnen oder so was, ist egal. Hier machen wir das jetzt mit dem Kreuzprodukt. Wenn man es mit dem Gleichungssystem macht, kann es auch sein, dass ein anderer Normalenvektor dabei rauskommt, der wird aber dann die gleiche Richtung haben bzw. die entgegengesetzte Richtung. Soll also kein Problem werden, wenn man das jetzt nachrechnet und zu etwas anderen Ergebnissen kommt. Wenn man das jetzt hier einsetzt, würde das ergeben: Der Betrag dieses Vektors ist die Wurzel aus 179. Also 1 / \sqrt(179) braucht man dann. d können wir einfach so ausrechnen, indem wir den Normalenvektor hier mit dem Stützvektor multiplizieren. Normalenvektor multipliziert mit irgendeinem Punkt dieser Ebene ergibt immer d. Und d ist bei uns 7.

Bei der Berechnung des Werts zwischen den Betragsstrichen kommt -30 raus. Dann haben wir alles.

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4 Kommentare
  1. Who is who 34

    Du hast recht. Da hat sich leider ein Fehler eingeschlichen. Bei ca. 4:20 min muss der letzte Eintrag des Vektors -10 statt -7 heißen, da a1*b2 - a2*b1 = -9 - 1 = -10 liefert. Vielen Dank!

    Von Sebastian W., vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    ihr kreuzprodukt losung stimmt nicht. Statt -7 muss -10 rauskommen.

    Von Betuel.K, vor mehr als 4 Jahren
  3. Flyer wabnik

    In den Betragsstrichen fehlt vor der 9 leider ein Minus-Zeichen.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    wieso kommt zwischen den Betragstrichen am Ende -30 raus?
    es ist doch:
    (7*0+9*1+(-7)*2)-7
    = 0+9-14-7 = 12 ???

    Von Next2you, vor mehr als 4 Jahren