Textversion des Videos

Transkript Abstand Punkt-Gerade

Hallo. Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Ich möchte erst mal zeigen, wie man sich das vorstellen kann, und hinterher zeige ich dann, wie man das konkret ausrechnet. Angenommen wir haben hier eine Gerade. Das soll mal eine Gerade darstellen. Und wir haben hier einen gelben Punkt. Dieser gelbe Punkt hat einen Abstand zu dieser Geraden, nämlich der müsste dann von hier nach da gehen. Das müsste der Abstand sein. Wie kann man sich das jetzt vorstellen, wie so etwas ausgerechnet werden kann? Wir können einfach mal mehrere Geraden ankucken, die hier durch diesen gelben Punkt gehen und die andere Gerade schneiden. Da ist es jetzt eine bestimmte Gerade dabei, die rechtwinklig auf dieser Geraden hier auftrifft oder die diese rechtwinklig schneidet. Dieses Verbindungsstück, also von diesem Schnittpunkt zu diesem gelben Punkt, das ist der Abstand. Das beweise ich jetzt an dieser Stelle nicht, dass der Abstand, wenn man diesen Vektor bildet, dass der dann rechtwinklig auf der Geraden auftrifft. Ich glaube, das kennst du auch von Dreieckshöhen und aus deiner Alltagserfahrung. Das kann man auch beweisen, aber ich mache es jetzt hier nicht. Also das können wir mal voraussetzen und dann kann man sich vorstellen, glaube ich, wenn man diesen Schnittpunkt hier kennt, den da, dann ist man eigentlich schon fertig und kennt den Abstand zwischen diesem gelben Punkt der Geraden. Ich zeige das mal mit einem Hilfspunkt hier. Also wenn wir diesen orangefarbenen Punkt kennen, dann reduziert sich unsere weitere Fragestellung auf dieses Problem hier: Wir haben 2 Punkte und suchen den Abstand dieser Punkte. Wie bekommen wir den Abstand dieser Punkte? Wir bilden den Differenzvektor. Dann können wir den Betrag des Differenzvektors bilden und das ist dann der Abstand oder der Abstand der beiden Punkte. In unserem Fall eben der Anstand des gelben Punktes zu dieser Geraden, die gerade noch hier sichtbar war. Um genau zu sein: Man bekommt 2 verschiedene Differenzvektoren, je nachdem, ob man diesen Punkt minus diesen oder diesen Punkt minus diesen rechnet. Für uns ist das egal, weil wir den Betrag suchen und der Betrag ist für beide möglichen Differenzvektoren gleich.

Wie kann man das jetzt alles hier in eine mathematische Formel gießen? Wir wollen das ja letzten Endes ausrechnen. Wir stellen uns Folgendes vor: Es gibt also einen Punkt, diesen orangefarbenen Punkt, der nennt sich übrigens Lotfußpunkt, weil man sich vorstellt, dass man von diesem gelben Punkt aus das Lot auf diese Gerade fällt. Vielleicht kennst du den Maurerlot. Das ist ein Gewicht mit einem Band dran und das hält man, um zu kucken, ob man Wände gerade mauert. Normalerweise fällt das Lot von oben nach unten, aber hier in der Mathematik sagt mach auch, dass das Lot von diesem gelben Punkt auf diese Gerade gefällt wird und dann entsteht hier dieser orangefarbene Lotfußpunkt.

Wir stellen uns Folgendes vor: Wir möchten diesen Lotfußpunkt finden. Dieser Lotfußpunkt hat die Eigenschaft, dass er hier mit diesem gelben Punkt einen Differenzvektor definiert, der rechtwinklig zu dieser Geraden ist. Das bedeutet, wir rechnen jetzt diesen Lotfußpunkt minus diesem gegebenen gelben Punkt, dann bekommen wir den Differenzvektor. Dieser Differenzvektor × Richtungsvektor der Geraden = 0. Wir bilden das Skalarprodukt von diesem Differenzvektor und diesem Richtungsvektor und dieses Skalarprodukt ist 0, weil wir wissen, ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0, wenn die beiden Vektoren rechtwinklig zueinander sind oder orthogonal sind. Wie auch immer man das ausdrücken will. Das ist eigentlich schon die ganze Überlegung, die man machen muss, um das mathematisch einwandfrei formulieren zu können. Schauen wir uns das mal an, wie das hier als Datei aussieht. Wir haben also eine gegebene Gerade also x=s+λ×r. s ist der Stützvektor und r ist der Richtungsvektor. Und einen Punkt haben wir auch gegeben. Der hat den Ortsvektor 0P oder es gibt auch viele Bezeichnung, wie die Ortsvektoren heißen. Das ist mir jetzt egal, ich meine den Ortsvektor, der vom Ursprung zum gegebenen Punkt hinführt. Jetzt suchen wir den Lotfußpunkt. Diesen Lotfußpunkt erhalten wir, indem wir uns zunächst einmal überlegen, dass der ja auf der gegebenen Geraden liegt. Das heißt, es gibt ein bestimmtes λ, das hier jetzt λLP heißt. Das kann man in diese Geradengleichung einsetzen und dann erhält man einen bestimmen Punkt, nämlich den Lotfußpunkt. Also diese Form wird der Lotfußpunkt auf jeden Fall haben. Von dem Ortsvektor, der zum Lotfußpunkt führt, ziehen wir den Ortsvektor des gegebenen Punktes ab. Man rechnet diesen Punkt minus diesen Punkt und dann erhalten wird den Differenzvektor, also diesen Vektor zwischen Gelb und Orange, wie wir das gerade gesehen haben. Und wenn wir da jetzt die Skalarmultiplikation mit dem Richtungsvektor der Geraden machen, dann kommt da 0 raus, weil nämlich dieser Differenzvektor und dieser Richtungsvektor rechtwinklig zueinander sind. Das gilt alles für diesen Lotfußpunkt. Wir suchen also ein bestimmtes λ, das diese Gleichung erfüllt.  Das kann man jetzt mal konkret an einem Beispiel durchrechnen. So sieht es aus. Hier haben wir die gegebene Gerade und einen gegebenen Punkt, Stützvektor und Richtungsvektor. Ich glaube, das ist nichts Besonderes. Und diese gegebenen Dinge müssen wir jetzt einfach in diese Gleichung einsetzen, die wir gerade eben gesehen haben. Ich zeige das mal so eben. Hier ist der Stützvektor plus ein bestimmtes λ, also das λ, das dann zu diesem Lotfußpunkt gehört, λ × Richtungsvektor. Das ist ein bestimmter Punkt der Geraden. Davon ziehen wir den Ortsvektor zum Punkt P ab, bilden also hier den Differenzvektor. Und dieser Differenzvektor mit r multipliziert, also mit dem Richtungsvektor der Geraden multipliziert, ergibt 0, weil diese beiden rechtwinklig zueinander sind, Differenzvektor und Richtungsvektor. Dann können wir das umformen. Und zwar rechnen wir hier: 4+λLP×2-0. Da kommt dann also 4+2×λLP raus. Hier rechnen wir 4+λLP×1-(-1). Das ist im Ganzen dann 5+λLP. Und da das gleiche: 8+λLP×2-10 ist -2+2×λLP. Das müssen wir jetzt mit dem Richtungsvektor multiplizieren, das Skalarprodukt bilden. Und das habe ich jetzt nicht im Einzelnen alles hingeschrieben, ich glaube, das weißt du, wie das geht. Es kommt auf jeden Fall raus: 9λLP+9=0, wenn man das noch ein bisschen zusammenfasst und daraus folgt dann λLP=-1. Und wenn wir das haben, hier λLP=-1, dann können wir dieses bestimmte λLP in die Geradengleichung einsetzen, nämlich -1 hier für λ einsetzen und dann erhalten wir einen bestimmten Punkt. Das hier, dieses Ding hier hinten, das ist der Lotfußpunkt beziehungsweise der Vektor, der vom Ursprung zum Lotfußpunkt hinführt. Man muss das ja immer so ein bisschen unterscheiden. Ein Punkt ist ja kein Vektor, obwohl jeder Punkt durch einen Ortsvektor definiert ist und so weiter. Aber ich glaube, das muss ich hier nicht noch mal im Einzelnen erklären. Gut. Wir haben den Lotfußpunkt und dann, hatte ich ja gesagt, braucht man nur noch den Differenzvektor vom Lotfußpunkt zum gegebenen Punkt und dessen Betrag dann ausrechnen. Und dann hat man den Abstand. Das habe ich jetzt hier auch schon mal vorbereitet. Hier bilden wir den Differenzvektor, also Vektor des Lotfußpunktes minus Vektor zum Punkt P. Das kommt raus (2|4|-4). Und von diesem Differenzwert bildet man den Betrag. Das ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate und die ist 6. Damit haben wir jetzt hier an dem konkreten Beispiel direkt durchgerechnet, dass der Abstand dieses gelben Punktes zu dieser Geraden 6 ist. Die Gerade liegt etwas anders. Die entsprechen jetzt nicht einander. Das ist nur zur Veranschaulichung. Ja, das war es zum Berechnen. Viel Spaß damit. Tschüss.

Informationen zum Video