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Transkript Abstand paralleler Geraden

Okay, was machen wir?  - Abstand paralleler Geraden. Wir haben schon den Abstand zweier windschiefer Geraden gemacht. Das können wir aber hier nicht verwenden, das Verfahren. Wollen wir das kurz zeigen? So, die wären jetzt windschief. Und im letzten Film hatten wir das glaube ich so, dass wir den Richtungsvektor dieser Geraden da an die andere drangesetzt haben. Dann ist hier eine Ebene entstanden, und dann haben wir den Abstand dieser Geraden zu dieser Ebene bestimmt. Aber wenn die jetzt parallel sind (so), dann funktioniert das nicht, weil die Richtungsvektoren gleich sind. Da kann man den Richtungsvektor hier dransetzen und dann bringt das nichts, dann entsteht keine Ebene. Also neues Verfahren: Lotfußpunkt bestimmen. Genau, Lotfußpunkt ist richtig. Wir haben die Situation, dass der Abstand dieser beiden Geraden überall gleich ist. Deshalb können wir einfach zum Beispiel den Stützvektor der einen Geraden nehmen und den Abstand dieses Stützvektors bzw. des Endpunktes des Stützvektors zu der anderen Geraden bestimmen. Und das ist dann das Problem des Abstands eines Punktes zu einer Geraden, und das löst man, wie du gesagt hast, durch einen Lotfußpunkt. Ach so, vielleicht kann man noch eben sagen, wenn wir den Lotfußpunkt haben (den da, das ist der, der diesem hier so rechtwinklig gegenüberliegt), was haben wir denn dann? Dann haben wir ja noch nicht den Abstand. Dann müssen wir noch die Länge dieses Differenzvektors bestimmen. Und dann passt es. Okay. Also das ist der Stützvektor der einen Geraden, das ist der Richtungsvektor der einen Geraden, und das ist der Stützvektor der anderen Geraden. Genau, dann kann man das einfach einsetzen. Ich habe mal ein Beispiel hier vorbereitet. Das ist Gerade g, soll sein x, für die gilt = Stützvektor (1;1;1) + λ × Richtungsvektor der Form (2;-2;1). Und die andere Gerade passt gerade noch hin. h: x=(-1;3;1)+μ×(-0,5;0,5;-0,25). (Aber wieder gerade so.) Jetzt sieht man auch, die beiden Richtungsvektoren sind lineal abhängig, also ist die Richtung gleich. Genau, sie sind parallel, die Geraden. Der Vollständigkeit halber: Einer muss ein Vielfaches des anderen sein. Das heißt, es muss eine Zahl geben, mit der man zum Beispiel diesen Vektor multiplizieren kann, sodass dieser herauskommt. Es ist -¼. Wenn man den mit -¼ multipliziert, kommt der heraus, also sind die beiden parallel. Okay. Dann geht es los mit dem Lotfußpunkt: Einfach dieses Zeugs hier in diese Formel einsetzen. (Passt das da noch hin? Ja, ich versuche es mal.) Das wäre dann dieser Stützvektor + λ × Richtungsvektor - Stützvektor der anderen Gerade. Es ist übrigens völlig egal, ob man hier den Stütz- und Richtungsvektor nimmt oder diese beiden. Es würde jedes Mal dasselbe herauskommen. Wenn man hier diese beiden Vektoren da einsetzt, dann muss man diesen Stützvektor hier einsetzen. Und das Ganze dann multipliziert mit dem Richtungsvektor dieser Geraden. (Mit dem! Ach klar, ja. Es wäre übrigens egal. Da die die gleiche Richtung haben bzw. die entgegengesetzte Richtung haben, wäre das Skalarprodukt jeweils 0.) Okay. Da muss 0 herauskommen. Das wissen wir schon. Und dann brauchst du eine neue Tafel. Das ergibt diese Differenz. Und das wiederum =8+9λ. Ja, jetzt haben wir ein paar Schritte überschlagen, aber man muss das ja nicht in allen Einzelheiten hinschreiben. Man multipliziert hier die beiden und dann die beiden noch. Bei der Skalarmultiplikation kommt das halt jeweils so heraus. Was haben wir jetzt? Jetzt haben wir ein λ gefunden. Und dieses λ müssen wir dann wieder in die Gerade einsetzen. Und dann bekommen wir den Lotfußpunkt, wenn wir dieses λ eingesetzt haben. Genau, das können wir mal machen. (Hach, das ist schön, wenn das so läuft.) Und das ist jetzt so eine typische Schreibweise, die man verwendet. Wenn man jetzt hier Neuntel hätte und da Neuntel und da Neuntel, dann kann man die 1/9 einfach davorschreiben. Dann wird es etwas übersichtlicher, weil man sonst ja mindestens 6 Zeilen bräuchte für einen Vektor. Dies nur eben zur Erläuterung, warum das da steht. Genau. Und das hier wäre jetzt der Lotfußpunkt. Genau. Was machen wir jetzt mit dem Lotfußpunkt? Ich zeige das noch mal eben. Wir hatten die beiden parallelen Geraden. Wir haben den Stützvektor der einen Geraden (der ist hier zum Beispiel), wir haben jetzt den Lotfußpunkt, und jetzt müssen wir einfach nur noch die Länge dieses Differenzvektors bilden. Dann haben wir den Abstand der beiden Geraden. Ja. Der Abstand zwischen diesem Lotfußpunkt und... (Welchen Punkt noch mal? Dem Stützvektor der anderen Geraden, oder?) Wir haben hier den Lotfußpunkt gefunden, der auf dieser Geraden liegt, auf g. Und wir nehmen den Stützvektor dieser Geraden jetzt. Ja, okay. Das ergibt dann Folgendes. Also ich habe bei der Vorbereitung den Differenzvektor jetzt nicht noch mal extra gebildet. Den würde man natürlich so bilden, indem man hier (-1;3;1)-1/9-(7;25;1) rechnen würde. Ich glaube, das ist klar, wie man den Differenzvektor errechnet. Da sind die 3 Differenzen der Koordinaten. Und dann muss man einfach die Differenzen der Koordinaten quadrieren und aus der ganzen Summe die Wurzel ziehen. Das kann man auch schön im Kopf machen, in dem Fall, weil da doch recht freundliche Zahlen herauskommen. Da nimmt man dann 242 und da 92, das kann man hier wohl erkennen. Dann ist man bei 8/3. Der Abstand der beiden Geraden = 8/3. Das war's. Danke.  

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6 Kommentare
  1. Thomas

    @Koechling4: Letztendlich wird das hier auch gemacht. Der Vektor r ist hierbei der Normalenvektor einer Hilfsebene. Es wird eine Hilfsebene in Normalenform aufgestellt, welche einen Punkt der zweiten Geraden besitzt und als Normalenvektor den Richtungsvektor der ersten Geraden. Damit stehen die Geraden und die Hilfsebene senkrecht zueinander. Anschließend wird der Schnittpunkt der Hilfsebene mit der ersten Geraden bestimmt.

    Von Thomas Scholz, vor 10 Monaten
  2. Default

    Warum lösen Sie diese Aufgabe auf diesem Wege und nicht mit dem Bilden des Normalenvektors?

    Von Koechling4, vor 10 Monaten
  3. Default

    Muss mich dem vorigen Kommentar anschließen. Der Fokus sollte auf den Aufgabestellungen liegen, das gelingt besser, wenn man sich auf eine Tafel konzentriert.

    Von Maria L., vor etwa einem Jahr
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    das video fand ich leider nicht hilfreich:(. Es wäre schön, wenn nur Sie ein Video drehen.

    Von Princess Smile 1, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Ich kann nicht nachvollziehen wie ihr bei 4:54 Minuten auf "diese Differenz" (2,-2,0) kommt??

    Von Next2you, vor mehr als 4 Jahren
  1. Flyer wabnik

    Am Ende des Films ist leider ein Fehler: Man hätte den Stützvektor von h einsetzen müssen und nicht den von g. Obwohl Sophia nochmal nachgefragt hat und ich es auch richtig gesagt habe, ist trotzdem der falsche Vektor eingesetzt worden und mir ist der Fehler beim Drehen nicht aufgefallen.

    Von Martin Wabnik, vor fast 5 Jahren
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