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Transkript Abstand Gerade-Ebene

Tutor: Also, Abstand eines Punktes, Abstand einer Gerade zu einer Ebene ist das Thema. Wir kommen gleich auf den Punkt. Also, wir können das erst mal zeigen, das ist eine Ebene, ich halte das mal schräg, damit man das besser sehen kann. Schülerin: Ja. Und das ist die Gerade. Tutor: Okay, das ist eine Gerade, die darf - darf ich mal eben zeigen - auch so oder so liegen, das ist völlig egal. Sie muss aber? Schülerin: Parallel sein, weil sonst würde sie so durch die Ebene gehen und hätte einen Schnittpunkt und deswegen keinen Abstand zur Ebene. Tutor: Genau. Und wie berechnet man jetzt den Abstand? Schülerin: Man sucht sich irgendeinen Punkt dieser Gerade und berechnet dann den Abstand zwischen dem Punkt dieser Gerade und der Ebene. Und es ist natürlich gut, dann einfach hier den Stützvektor zu nehmen. Tutor: Man kann irgendeinen Punkt nehmen, weil jeder Punkt zur Ebene den gleichen Abstand hat. Jeder Punkt der Gerade hat zur Ebene den gleichen Abstand, das ist der Sinn der Parallelität. Und wenn man dann schon den Stützvektor hat, dann nimmt man halt den und berechnet den Abstand des Endpunktes des Stützvektors zur Ebene. Schülerin: Ja, gut. Tutor: Und Abstand eines Punktes zu einer Ebene haben wir quasi schon besprochen. Das ist so, dass man einfach diese Abstandsformel verwenden kann. Dazu braucht man einen Punkt und eine Ebene in Koordinatenform. Aus der Koordinatenform kann man den Normalenvektor ablesen. Dieses d hier, ist das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht, diese Zahl, die hinter dem Gleichheitszeichen steht, der Koordinatenform, und 0P ist der Vektor, der vom Ursprung zum Punkt P führt, und da kann man dann den Stützvektor der Geraden einsetzen. Schülerin: Ja. Tutor: Was macht man, wenn man die Ebene nicht in Koordinatenform, sondern in Parameterform gegeben hat? Schülerin: Dann formt man sie so um, dass man sie in Koordinatenform hat. Tutor: Genau. Ist ein Verfahren, das wir jetzt nicht besprechen, ist in einem anderen Film besprochen worden, Umformen von Ebenen von Parameterform in Koordinatenform oder sonst was. Sollte die Ebene in Normalenform gegeben sein, kann man sie auch in Koordinatenform umformen. Okay, dann kann man jetzt einfach die Sachen, die hier sind, einsetzen und den Abstand ausrechnen. Schülerin: Ja, zunächst können wir ja den Normalenvektor der Ebene uns anschauen, das ist 5, -2 und 1. Tutor: Genau, hier steht ja quasi eine 1 vor. Das sind einfach die Koeffizienten der Variablen der Koordinatenform, die bilden den Normalenvektor. Schülerin: Ja und der Betrag des Normalenvektors wäre somit: 25, ne? 52 ... Tutor: Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate ist die Länge des Vektors, also der Betrag. Schülerin: \sqrt30. Tutor: Genau. Schülerin: Und das würde ergeben ... Tutor: Skalarprodukt aus Normalenvektor und Ortsvektor des Punktes. Schülerin: Da haben wir ja gesagt, das ist 2 und 2. So. Tutor: Genau, 12 kommt raus. Und dann ... Schülerin: Und das jetzt alles oben eingesetzt. Tutor: Genau, \sqrt30 ist der Betrag. Schülerin: Das hier, also 12-1. Tutor: Wenn man es ganz genau nimmt, müssten das eigentlich Betragsstriche sein, aber du weißt ja schon, was rauskommt. Es kommt eine positive Zahl raus und dann ... Schülerin: Genau. Tutor: Wenn eine negative rauskommen würde, müsste man natürlich noch den Betrag bilden. Schülerin: So, und das wären dann ... Tutor: 11/ \sqrt30. Schülerin: Genau. Tutor: Wunderbar. Schülerin: Und das ist ungefähr 2. Tutor: Ja, also hier muss man wirklich nur in die Formel einsetzen und das war es. Schülerin: Ja. Tutor: Gut.

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1 Kommentar
  1. Default

    Ist die Abstandsformel denn immer anwendbar? Kann ich also damit immer den Abstand eines beliebigen Punktes zu einer beliebigen Ebene ausrechnen?

    Von Christianbiegler, vor etwa 3 Jahren