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Transkript Abstand eines Punktes zu einer Ebene - Teil 2

Hallo! Hier ist der 2. Teil der Bestimmung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene, und zwar mithilfe des Lotfußpunktes. Wir haben die Ebene in Koordinatenform, wir haben die Koordinaten des Punktes, die sind hier, und möchten nun den Abstand bestimmen. Zunächst brauchen wir eine Gerade, die orthogonal zur Ebene verläuft und durch diesen Punkt geht. Dazu nehmen wir einfach den normalen Vektor der Ebene. Den haben wir hier gegeben, es sind die Koeffizienten, die vor x1, x2, x3 stehen. Da hier alle Koeffizienten nicht da sind, sind sie alle 1, denn 1×x1=1, daher also zunächst mal hier der Stützvektor, der ist (2, 2, 2), selbstverständlich weil der diese Gerade, die jetzt entstehen soll, durch diesen Punkt gehen soll. Und der Richtungsvektor ist also, besteht aus dem Koeffizienten, die jeweils hier vor diesen x stehen, und die sind also (1, 1, 1). Und damit ist die Geradengleichung fertig. Jetzt müssen wir den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene bestimmen. Und das macht man normalerweise so, dass man also koordinatenweise die Koordinaten, die Komponenten dieser Vektoren hier, in die Koordinatengleichung einsetzt. Ich habe das hier mal allgemein vorgerechnet. Also für x1, wenn x1 hier auf der Gerade sein soll, hat es die Form r1+λ×s1. Und das muss ich dann hier für x1 einsetzen, dann steht hier also a×(r1+λ×s1). Für x2, x3 das Gleiche. Dann bekomme ich eine Gleichung, in der nur noch λ unbekannt ist, und die kann ich dann nach λ auflösen. Dann kann ich λ in die Gleichung dieser Geraden einsetzen und erhalte den Durchstoßpunkt, bzw. den Schnittpunkt von Gerade und Ebene. Das mache ich jetzt hier auch im Prinzip, aber da die Zahlen hier so einfach sind, geht es ganz schnell. Und zwar muss ich jetzt für x1 das einsetzen, quasi, was hier in der 1. Koordinate steht, nämlich 2+λ×1. Und das ist natürlich 2+λ. λ×1 muss ich ja nicht hinschreiben. Jetzt sind hier aber - natürlich musst du noch den Koeffizienten hier vor x1 hinschreiben, also 1×2+λ×1. Hier würde dann noch stehen 1×2+λ×1+1×2+λ×1. Das Ganze steht hier also 3 Mal, bitte sehr. Also kann ich das so schreiben, und das muss nun gleich 4 sein. Das heißt ich habe hier also die einzelnen Koordinaten in diese Koordinatengleichung eingesetzt, die ist dann gleich 4 und das ist diese 4. Das kann man, glaube ich, zügig lösen. Wir haben 6, 2×3=6, rechne -6 auf beiden Seiten. Ist das richtig, was ich da mache? Ja. -6 auf beiden Seiten, dann steht hier -2, und das muss ich dann noch durch 3 teilen, und so erhalte ich λ. Ich glaube, das muss ich nicht weiter ausführlich hier vorrechnen. Dann muss ich diesen Wert λ hier in diese Gleichung einsetzen. Es kommt dann heraus, der Schnittpunkt, das ist auch dann der Lotfußpunkt des Punktes, also des Würfelmittelpunktes auf diese Ebene. Der Lotfußpunkt hat dann also die Koordinaten (2, 2, 2) + oder ich schreibe gleich -2/3×(1, 1, 1) und das ist gleich, wenn ich von 2 Ganzen 2/3 abziehe, bleiben noch 4/3 übrig. Der Lotfußpunkt hat also die Koordinaten (4/3, 4/3, 4/3) und da reicht mein Arm kaum noch aus. Hier unten steht also (4/3, 4/3, 4/3). Jetzt muss ich noch die Distanz ausrechnen der beiden Punkte, also des Würfelmittelpunktes und des Lotfußpunktes, also ich muss den Differenzvektor erst ausrechnen und dann den Betrag des Differenzvektors bilden. Das schaffe ich, indem ich also (2, 2, 2)-(4/3, 4/3, 4/3) rechne. Heraus kommt, ja, 2-4/3=2/3 wieder. Also (2/3, 2/3, 2/3), das ist der Differenzvektor, und wenn ich jetzt den Betrag des Differenzvektors bilde, dann habe ich den Abstand des Punktes zur Ebene. Um den Betrag zu bilden, rechne ich einfach eine Koordinate zum Quadrat plus die nächste Koordinate zum Quadrat plus die nächste Koordinate zum Quadrat, und aus dieser gesamten Summe bilde ich dann die Wurzel. Da hier alle Koordinaten gleich aussehen, schreibe ich einfach ×3 und ziehe daraus die Wurzel. Na ja, eine 3 kann ich hier schon kürzen, es kommt also 2/\sqrt3/ heraus. 2/\sqrt3/, und das ist schon der Abstand, der gesuchte Abstand von, also des Punktes zur Ebene. Des Würfelmittelpunktes zur Dreiecksebene. Wie nenne ich den dann? Einfach d. Ich nenne ihn jetzt d, ist egal. Meistens steht ja am Ende der Koordinatengleichung auch ein d, aber ich meine jetzt das Abstands-d, das ist der Abstand von Punkt und Ebene. Das war mehr zu rechnen, als es einfach in die Formel einzusetzen, obwohl man, wenn man die Formel benutzt, muss man auch ein paar Rechenschritte machen. Hier haben wir ja schon den Lotfußpunkt des Punktes auf die Ebene gefunden, das ist der hier: (4/3, 4/3, 4/3). Und der kann auch mal ganz praktisch sein, im weiteren Verlauf solcher Abituraufgaben. Hier sind wir auf jeden Fall fertig, Abstand ist bestimmt. Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Felix

    @Kathi 2: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Martin Buettner, vor 7 Monaten
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    Wieso funktioniert dieses Video nicht mehr ??

    Von Kathi 2, vor 7 Monaten
  3. Default

    Frage: 6λ = 4 |:6
    λ = 4/6
    Wo kommt bei Ihnen das Minus her?!
    Danke
    LG Benny

    Von Benny256, vor mehr als 3 Jahren