Abstand eines Punktes zu einer Ebene - Teil 1

Hallo!
Wir haben einen Würfel gegeben, mit eingehängtem Dreieck, und möchten nun den Abstand bestimmen des Würfelmittelpunktes zur Dreiecksebene.
Der Würfelmittelpunkt befindet sich ungefähr hier. Die Dreiecksebene verläuft hier so schräg durch den Würfel hindurch, und ich möchte bestimmen, wie groß der Abstand dieses Punktes zur Dreiecksebene ist.
Und da gibt es nun 2 grundsätzlich, also, es gibt viele Möglichkeiten,wie man das machen kann. Ich möchte 2 kurz zeigen, bzw. die hier möchte ich nur andeuten. Das ist eine Abstandsformel. Es gibt davon auch mehrere, falls du nicht gleich die wiedererkennst, die du gehabt hast, kein Problem. Der Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E berechnet man, wenn man den normalen Vektor hat. Den normalen Vektor der Ebene. Muss man also 1/Betrag des normalen Vektors rechnen. Dann normalen Vektor Skalarmultiplikation mit 0P, das heißt der Ortsvektor, der vom 0 Punkt zu dem Punkt P führt, -d, d ist diese Konstante aus der Koordinatengleichung, nicht, die dann meist rechts neben dem Gleichheitszeichen steht. Wenn man davon noch den Betrag bildet und beides multipliziert, hat man direkt den Abstand. Das möchte ich jetzt nicht zeigen.
Ich möchte das jetzt anders zeigen, und zwar mit dem Lot-Fuß-Punkt. Da ist zwar etwas mehr zu tun, aber, vielleicht, wenn du in einem anderen Zusammenhang so eine Aufgabe bekommst, vielleicht hast du schon den Lot-Fuß-Punkt oder musst ihn noch bestimmen, dann kannst du es gleich hier im Zusammenhang mit Abstand Punkt Ebene machen.
Sinn dieser Angelegenheit ist, das zeige ich auch noch mal hier eben am Modell. Wir haben eine Ebene, die verläuft hier so. Wir haben einen Punkt, der hier ungefähr ist. Und wir möchten jetzt den Lot-Fuß-Punkt dieses Punktes auf die Ebene bestimmen. Also hier quasi, durch diesen Punkt geht das Lot auf die Ebene. Wenn wir diesen Lot-Fuß-Punkt haben, der sich dann hier auf der Ebene irgendwo, oder in der Ebene, wie man so sagt, befindet, dann muss ich nur noch den Differenzvektor von Lot-Fuß-Punkt und hier gegebenen Punkt bestimmen, und den Betrag dieses Differenzvektors ausrechnen. Dieser Betrag ist der Abstand des Punktes zur Ebene.
Wie komme ich zu dem Lot-Fuß-Punkt? Ich brauche eine Gerade, die durch den gegebenen Punkt verläuft, und die rechtwinklig, orthogonal, zur Ebene verläuft. Und dann berechne ich den Schnittpunkt dieser Geraden mit dieser Ebene, das ist dann der Lot-Fuß-Punkt.
Wie komme ich zu einer Geraden, die nun hier senkrecht zur Ebene verläuft? Ich muss einfach nur diesen Punkt nehmen als Stützvektor und den normalen Vektor dieser Ebene als Richtungsvektor, und fertig ist die Gerade, die senkrecht zu Ebene verläuft.
Das ist die kurze Zusammenfassung. Jetzt möchte ich das ausführlich rechnen, und das geht so. Wir haben eine Ebene. Das wissen wir schon, diese Dreiecksebene hat in Koordinatenform diese Form hier, und zwar x1,x2,x3 =, nein, x1+x2+x3=4
Wir haben außerdem den Würfelmittelpunkt, den nenne ich einfach mal M, und der hat die Koordinaten, also, das ist ja der Vektor, der von 0 zu M führt, um das mal genau zu machen. Der hat die Koordinaten 2,2,2.
So, das sind die Angaben, die man hier braucht, um jetzt tätig zu werden. Und das zeige ich dann im 2. Teil dieses Films. Bis dahin. Tschüss!