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Transkript Abschlussprüfung Klasse 10 – Zahlenfolgen

Hallo! Im Jahr 2010 ist ein Thema neu bei den Pflichtaufgaben bei der Abschlussarbeit „Mathematik für Realschulen“, und zwar das Thema Zahlenfolgen. Da gibt es, mal ganz grob gesagt, 3 Möglichkeiten, wie man Aufgaben zu Zahlenfolgen stellen kann. Die 1. sieht so aus: Wir haben eine Zahlenfolge und fragen uns, wie geht es weiter? Oder bestimme das folgende Folgenglied, oder so ähnlich, kann man das sagen. Der Witz dabei ist, dass was man jetzt hier an Leistung zeigen muss, ist, dass man mit seinem mathematischen Verstand und seiner Erfahrung sieht, was das hier für eine Gesetzmäßigkeit ist, die dahinter steckt. Und das ist jetzt eine Zahlenfolge, da darf man das einfach, ja, da muss man das einfach wissen, was da jetzt passiert. Es sind die Primzahlen, da muss man einfach drauf kommen. Die ersten Primzahlen, und da muss man sich halt, wenn man gefragt wird, „Wie geht es weiter?“, überlegen, was ist denn die Primzahl, die auf 13 folgt. Und das ist die 17, und dann schreibt man halt die 17 hin. Vielleicht kann auch gefragt werden: „Was sind die nächsten beiden Folgenglieder?“ Dann schreibt man auch die 19 hin oder die nächsten 3, aber ist ja auch egal. So geht das weiter. Ich glaube, das ist klar. Übrigens, 2 ist auch eine Primzahl. Wollte ich nur sagen, viele denken, 2 sei keine Primzahl, weil alle anderen Primzahlen ja nicht gerade sind. 2 ist die einzige gerade Primzahl. Eben schön eine 19 schreiben, hier. Dann kann dir noch Folgendes passieren. Zum Beispiel, eine Folge kann dir passieren: 1, 4, 9, muss ich selber überlegen jetzt hier beim Reden und Schreiben und Rechnen zusammen, 16 und 25, und ich glaube, da siehst du gleich, worum es geht. Und zwar geht es um die ersten Quadratzahlen. Jetzt kannst du natürlich auch gefragt werden, was ist das nächste Folgenglied? Dann müssten wir eben 6 quadrieren, das ist 36, das geht noch. Hier ist aber interessant, dass es ein Bildungsgesetz gibt, und zwar ein Bildungsgesetz, das sich auf die Nummer des Folgengliedes bezieht. Quasi auf die Position, an der dieses Folgenglied steht. Das sind die einzelnen Folgenglieder, die hier durch Kommata getrennt sind, und das Gesamte ist die Folge. Das kann man nämlich so aufschreiben, das Bildungsgesetz, und danach könntest du auch gefragt werden. Dann steht da: „Bilde das Bildungsgesetz.“ oder „Wie lautet das Bildungsgesetz dieser Folge?“, oder so ähnlich. an, das ist das Folgenglied, das an Position n steht, und das kann man halt so errechnen, idem man n quadriert. Einfach diese Positionsnummer quadriert. Können wir mal eben testen hier. 1, 2, 3, 4. Folgenglied, wenn man 4 quadriert, kommt 16 heraus. Bitte, und da steht die 16. Es gibt natürlich auch andere Bildungsgesetze noch. Wir können noch nehmen, zum Beispiel an=5×n-2, oder so. Das geht auch, dann kann man auch gleich Folgenglieder bestimmen, ohne dass man erst die Folge aufschreibt. Zum Beispiel könnte man jetzt gefragt werden: „Was ist hier das 4. Folgenglied?“ Dann muss ich 5×4 rechnen, das ist 20-2=18, das heißt, ich kann direkt 18 hinschreiben als 4. Folgenglied, ohne zu wissen, was vorher war. Dann gibt es Bildungsgesetze, die sich auf die vorhergehenden Folgenglieder beziehen. Und das ist eben auch eine Möglichkeit, nach der du gefragt werden kannst. Du hast ein Bildungsgesetz gegeben und sollst dann die ersten Folgenglieder hinschreiben. Und das könnte so aussehen, ich denke mir mal irgendetwas aus.an+1=2×an-1. Das bedeutet jetzt Folgendes: Wenn wir ein Folgenglied haben, das die Nummer n hat, also irgendeine Nummer, dann können wir das darauf folgende Folgenglied ausrechnen, nämlich das Folgenglied mit der Nummer n+1. Das heißt, an+1 hier. Das können wir ausrechnen, indem wir das Erste, oder dieses Folgenglied, was da steht, verdoppeln, nämlich 2×an rechnen, und dann 1 abziehen. Dazu muss ein Anfang gegeben sein. Also mindestens 1 Folgenglied brauchen wir schon, sonst funktioniert das Ganze nicht. Wir könnten mit der 2 anfangen. 2 ist unsere 1. Zahl, das ist unser a1. Folgenglied Nummer 1. Das müssen wir verdoppeln und 1 abziehen. Verdoppeln von 2 ist 4, 1 abziehen ist 3. Das heißt, das nächste Folgenglied ist 3. Wenn wir das darauf folgende Folgenglied ausrechnen möchten, dann müssen wir hier jetzt die 3 einsetzen. Das heißt, wir rechnen 2×3-1. 2×3=6-1=5. Das Folgenglied ist also 5. Dann haben wir 2× das darauf Folgende, also an+1=5, jetzt können wir hier die 5 einsetzen. 2×5=10-1=9, usw. 2×9=18-1=17. Und da geht das dann immer weiter. Hier möchte ich anmerken, dass man, wenn man so etwas gegeben hat, auch auf eine andere Gesetzmäßigkeit kommen könnte. Nämlich, man könnte einfach sagen, also, man kuckt sich die Differenzen an, hier, die da existieren. Also, von 2 bis 3 ist die Differenz 1, von 3 bis 5 ist die Differenz 2, also schon die doppelte Differenz, von 5 bis 9 ist die Differenz 4, also wieder das Doppelte der Differenz, die vorher da war, vorher zwischen den beiden vorhergehenden Folgengliedern vorhanden war. Es geht hier weiter. Zwischen 9 und 17 ist die Differenz 8, und das ist das Doppelte der Differenz der beiden vorherigen Folgenglieder. Und damit möchte ich schon abschließend zu der Situation kommen, auf die ich hier hingearbeitet habe. Nämlich Bildungsgesetze, die sich auf 2 vorhergehende Folgenglieder beziehen. Ach so, eine Anmerkung noch dazu, worauf ich hier hinaus wollte, mit der Erklärung ist, dass es durchaus vorkommen kann, dass man Gesetzmäßigkeiten unterschiedlich sieht. Dass man mit unterschiedlichen Gesetzmäßigkeiten eine Folge weiter spinnen kann. Hier wäre die Gesetzmäßigkeit, die ich gerade jetzt als 2. gesagt habe, würde die gleiche Folge produzieren. Es ist aber auch möglich, und das ist bei Intelligenztests öfter der Fall, dass man eben wenige Zahlen gegeben hat und überlegt sich da ein Bildungsgesetz, oder überlegt sich etwas Gesetzmäßiges, wie es weitergehen kann, aber vorgeschlagen in der Lösung ist eine andere Gesetzmäßigkeit. Trotzdem hat man dann mitunter recht, mit dem, was man sich überlegt hat. Also, das ist eine vernünftige Überlegung und ein logisches Bildungsgesetz, entspricht aber nicht der Lösung. Ich bin sicher, dass so etwas nicht vorkommen wird. Also, die Dinge, die Anfänge von Folgen, die in deiner Aufgabe angegeben sein werden, die sind eindeutig, oder es gibt zwar mehrere Möglichkeiten, die aber auf dieselbe Folge führen, und dann kannst du nach beiden Möglichkeiten das nächste Folgenglied bestimmen. Es ist dann ja auf jeden Fall richtig. Aber jetzt zu der Möglichkeit, dass man die beiden vorausgehenden Folgenglieder betrachten muss, um das nächste Folgenglied ausrechnen zu können. Und da gibt es eine ganz berühmte Folge. Die fängt an mit 0, geht weiter mit 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 und 21. Und das sind die Fibonaccizahlen. So wird er geschrieben, Fibonacci. Ich bin fast sicher, dass er so ausgesprochen wird. Ich bin manchmal, also, zu 99% bin ich sicher, dass er Fibonacci heißt. Das Bildungsgesetz sieht so aus: Wir berechnen an+2, und dazu müssen wir die beiden vorausgehenden Folgenglieder addieren. Und das ist eben an+an+1. Prüfen wir es eben nach. Wir haben, wenn wir mit einem solchen Bildungsgesetz Folgen erstellen wollen, dann brauchen wir 2 anfänglich gegebene Folgenglieder, sonst könne wir hier ja nicht weiterrechnen. Wenn, angenommen, hier 0 und 1 gegeben ist, dann können wir 0 und 1 addieren, und das ist das nächste Folgenglied, das ist dann die 1. Für das 4. Folgenglied müssen wir das 2. und das 3., ich kann nicht mehr zählen, hier ist das 4. Folgenglied ,da ist das 2., da ist das 3. Das 2. und 3. müssen wir addieren und kriegen das 4. Folgenglied. Das 5. Folgenglied bekommen wir, indem wir das 3. und das 4. addieren, also 1+2=3, und dann 2+3=5 usw. Das wäre gut möglich, dass du eine solche Folge siehst, in der Aufgabe und dann das nächste Folgenglied bestimmen sollst. Da ist es eben wichtig, dass du die Gesetzmäßigkeit erkennst. Es kann auch sein, dass du ein Bildungsgesetz bekommst, wie hier oder hier, und bekommst einen Anfang, einen Erfolg, und sollst dann weiterrechnen. Oder es kann auch sein, dass du eine Folge siehst, wie hier zum Beispiel, und sollst das Bildungsgesetz aufschreiben. Dann viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Vielen Dank, toll erklärt wie immer. Ich wünsche es gäbe Sofatutor auf mehrere Sprachen, nicht nur Deutsch.

    Von Cardenas 100, vor etwa 2 Jahren
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