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Transkript Abschlussprüfung Klasse 10 – Winkel bestimmen

Hallo! Es geht um eine Aufgabe mit folgendem Aufgabentext. Ja, es kommt noch ein Text. Du kannst den Film ja anhalten, wenn du es lesen möchtest. Hier geht es jetzt weiter mit folgender Situation: Wir wissen, dass [MBCEn]=10,59 ist. Die Frage ist, die sich dann anschließt, welchen Wert hat φ? Das möchte ich eben mal hier an der Zeichnung zeigen. Die rote Pyramide brauchen wir im Moment nicht. Aber ich hoffe, das verwirrt dich nicht zu sehr. [MBCEn], das ist so eine Strecke hier. Hier, auf dieser Linie oben, liegen die Punkte En, und MBC ist hier unten. Je nachdem, wo En liegt, haben wir dann also solche Strecken. Und dann brauchen wir noch den Winkel φ, der Winkel φ hat den Scheitel bei MAD und der eine Schenkel ist die Verbindungslinie von [MADMBC], das heißt also die Mitten der Seiten AD und BC. Und der andere Schenkel, ja, das ist die Verbindungslinie [MADEn]. Und wir sollen jetzt den Winkel φ halt ausrechnen, wenn wir wissen, wie lang [MBCEn] ist. Ich zeige noch mal hier ein paar Möglichkeiten. Hier ist der Winkel φ immer. Ich glaube, das reicht so aus, zur Anschauung. Was können wir machen? Ich habe die Rechnung schon vorbereitet und möchte dann nur kurz was dazu sagen. Wir haben schon herausgefunden, im Laufe dieser Aufgabe, wie man die Strecke [MBCEn] allgemein berechnen kann, und zwar mit diesem Term hier. Wir müssen nur wissen, wie groß φ ist, dann können wir φ hier einsetzen und [MBCEn] ausrechnen. Wenn wir jetzt wissen, dass diese Strecke gleich 10,59 ist, können wir das natürlich gleich setzen und dann φ bestimmen. So weit, so gut. Da war jetzt gar nicht so viel zu überlegen, wenn man weiß, dass man diese Formel schon hat. Aber jetzt geht es los halt. Wenn wir quadrieren hier, dann bekommen wir so eine Gleichung und was uns da jetzt vermutlich stört, ist das Tangensquadrat von φ, bzw. Tangens φ. Und um da eine vernünftige quadratische Gleichung daraus zu machen, können wir substituieren. Also man kann auch so weiterrechnen, aber das ist jetzt nicht so schön. Deshalb zeige ich eben die Substitution. Wir können für x=1/tan φ schreiben. Und wenn wir das also gemacht haben, dann entsteht die Gleichung 100x²-140x+36,8519=0. Die kann man jetzt also ganz normal mit pq-Formel oder Mitternachtsformel oder was auch immer lösen. Es kommen 2 Ergebnisse heraus, nämlich x1 und x2. Die habe ich jetzt hier nicht noch mal aufgeschrieben, weil die hier auch nur Zwischenergebnisse darstellen. Dann müssen wir allerdings aus diesen x1 und x2, die wir ausgerechnet haben, noch das φ bestimmen. Und das geht eben dadurch, indem wir hier diese Substitutionsgleichung x=1/tan φ nach φ auflösen. Das heißt, wir werden also mit tan φ multiplizieren, durch x teilen und dann beide Seiten als Argumente der Umkehrfunktion der Tangensfunktion verwenden. Man kann auch einfach sagen, man rechnet auf beiden Seiten tan^-1. Dann steht auf der einen Seite dann tan^-1(1/die Lösungen dieser Gleichung)  und auf der anderen Seite steht dann φ alleine, weil tan^-1(tan φ) wieder φ ist, zumindest in dem Definitionsbereich, wo wir uns hier befinden. Dann kommen 2 Werte heraus, nämlich φ1≈ 43,64° und φ2≈70,64°. Und jetzt soll dir bitte eine Sache einfallen. Nämlich, du sollst dich hier fragen: Liegt das noch in dem Definitionsbereich für φ? Das muss man hier bitte beachten. Wenn man da jetzt sich denkt: „Ach, das passt schon.“ Okay, aber hier sollte man bitte darauf kommen. Wir haben ja festgelegt, dass φ kleiner sein muss als tan^-1(20/7), und da müssen wir ausrechnen, wie groß dieser Tangens dann ist und ob der hier da drunterliegt. Ich nehme es vorweg, bevor du das ausrechnest. Dieses φ2 liegt noch im Definitionsbereich, der Winkel φ ist in der oberen Grenze, die obere Grenze ist irgendetwas um die 70,7°, und da liegen 70,64 gerade eben noch drin. Ja, das war es dazu, eben schnell vorgestellt. Die ganzen Kleinigkeiten, die Rechnungen hier, die kannst du auch ohne meine Hilfe, denke ich. Viel Spaß damit, tschüss!

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