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Transkript Abschlussprüfung Klasse 10 – Quadratische Gleichungen

Hallo, wir sind weiter beim Thema quadratische Funktionen, dazu bin ich auch weiter bei dieser Aufgabe mit dem Kuchen. Wir haben einen Kuchen gebacken und einen äußeren Ring mit Schokoladenstreuseln auf der Oberfläche des Kuchens bestreut. Wir haben in Abhängigkeit von der Breite des Rings, hier x genannt, die Fläche dargestellt hier in diesen zwei verschiedenen Termen, die ergebnisgleich sind.  Vielleicht kann man beide irgendwie gebrauchen, muss man mal sehen. Deshalb noch mal quadratische Funktionen, weil das wirklich eins der Topthemen ist in der Abschlussarbeit für die Realschule in Hessen, in vielen anderen Bundesländern übrigens auch. Also da, bei dem Thema, da boxt der Papst, das musst du unbedingt können. Deshalb hier noch eine Aufgabe dazu: Und zwar wollen wir wissen, für welche Breite des Kreisrings beträgt die Fläche 300cm²? Was ist da zu tun? Da wir hier eine Funktion haben, eine Funktionsgleichung, die also die Fläche in Abhängigkeit von der Breite darstellt, müssen wir hier für die Fläche einfach nur 300cm² einsetzen. Und wir rechnen natürlich nicht in Zentimetern weiter, sondern wir rechnen einfach mit der Zahl 300, setzen das ein und lösen nach x auf. Das sollte ein Gleichheitszeichen werden. Also dann haben wir hier -π×x²+28π×x, das ist unsere Gleichung  und die kann man jetzt nach x auflösen. Wie macht man das? Offensichtlich handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die kannst du mit der p-q-Formel lösen. Die p-q-Formel ist bei dir in der Formelsammlung angegeben, also die Formelsammlung, die du in der Abschlussprüfung auch verwenden darfst. Um die p-q-Formel anzuwenden, müssen wir diese Gleichung in Normalform bringen, was letzten Endes bedeutet, die Gleichung muss die Form haben x²+px+q=0. Dazu brauchen wir erst mal hier auf der Seite eine 0, das heißt ich rechne -300 auf beiden Seiten und dann steht hier schonmal 0=-π×x²+28πx-300. Und dann müssen wir noch durch -π teilen, denn die Normalform beginnt ja mit x². Und um das zu erreichen, müssen wir halt durch -π teilen, durch die Vorzahl, die da steht. Dabei zu beachten wie immer, jeden Summanden durch -π teilen. Dann haben wir hier stehen 0=x². 28π×x÷-π ergibt etwas Negatives. Wir können mit π kürzen, also haben wir hier nur noch -28x. Und hier am Ende können wir nicht viel machen, wir haben -300÷-π und Minus durch Minus ist Plus. Hier steht 300÷π. Das ist nun die Normalform, wir dürfen die p-q-Formel verwenden, kein Problem. Dann bekommen wir hier x12 ist ... die Formel lautet ja -p/2 und das schreibe ich so nicht hin, also da dürfen wir uns gleich überlegen, was ist denn -p/2? p ist -28 und -p ist +28, -p/2 ist 28÷2 und damit ist das 14. Ja, da darf man ruhig ein bisschen mitdenken. Wenn man das alles mit den Minuszeichen so hinschreibt, dann ist die Gefahr, dass man sich irgendwo mit einem Zeichen vertut, doch relativ groß, wenn man halt überhaupt nicht mitdenkt. Deshalb plädier ich dafür, ruhig den Kopf einschalten beim Schreiben, auch wenn man eigentlich nur was in die Formel einsetzt. Dann haben wir hier in der Formel stehen p/2². Nun, wir wissen, was p ist, p ist -28, p/2 ist -14, zum Quadrat, Minus mal Minus ist Plus, wir müssen nur noch 14² rechnen, das weißt du hoffentlich auswendig, das solltest du zumindest wissen, die Quadratzahlen bis 20, die sind wichtig. 14² ist 196 und hier hinten lässt sich nicht viel machen, da steht -p noch und p ist ja 300÷π und da trage ich das einfach hier ein. Also am Ende haben wir -300÷π. So und das ist jetzt unsere Lage hier und wir müssen weiter mitdenken dabei, denn wir haben hier 14 plus die Wurzel und 14 minus die Wurzel. Nun, wir wissen, was p ist, p ist -28, p/2 ist -14, zum Quadrat, Minus mal Minus ist Plus, wir müssen nur noch 14² rechnen, das weißt du hoffentlich auswendig, das solltest du zumindest wissen, die Quadratzahlen bis 20, die sind wichtig. Welche Maße sind denn da, was die Breite des Kreisrings angeht, überhaupt von belang? Wir sehen, wenn wir 14 plus etwas haben, dann ist das größer als der Radius. Der Kreisring kann nicht breiter sein als der Radius. Das heißt 14 plus Wurzel können wir schon mal vergessen, brauchen wir hier nicht. Ist zwar eine Lösung der Gleichung, ist hier aber nicht gefragt, zumindest diese Lösung nicht. Wir müssen haben 14 minus etwas, was da steht und deshalb ist die einzige Lösung die uns hier interessiert - ja ich hab es vorher ausgerechnet -, es ist ungefähr 3,97, glaube ich. Das ist das, was da ungefähr raus kommt. Wenn du dich wunderst, hier erscheint x12 und hier steht nur noch x, du kannst vielleicht beide Lösungen hinschreiben - vielleicht ist das das Beste -, beziehungsweise die Näherungswerte beider Lösungen und dann sagst du dir die eine Lösung würde in diesem Zusammenhang bedeuten, dass der Kreisring breiter ist als der Radius selbst, was hier nicht sein kann. Deshalb ist der Weg der Aufgabe nicht interessant und dann gehst du zu der anderen Lösung über und sagst darüber, noch was, so kann man das vielleicht formal korrekt darstellen. Ich weiß nicht, wie du das genau machen sollst, vielleicht kannst du ja deinen Lehrer bei der Vorbereitung auch noch mal fragen, wie das genau vonstatten gehen soll, wie er das haben möchte. Ich sage hier einfach für mich ist dieses x interessant und damit mache ich jetzt rein vom Sinn her weiter. Wir brauchen einen Antwortsatz und müssen in dem Antwortsatz natürlich dann richtig runden. Hier kommt ja eine irrationale Zahl raus und die Frage ist: Auf welche Stelle runden wir da? Und du darfst dir das durchaus vorstellen: Wie bestreut man einen Kuchen mit Schokoladenstreuseln? Auf welches Maß kann man die Breite eines Kreisrings einhalten, wenn man was jetzt konkret macht? Und da würde ich sagen, die zweite Stelle nach dem Komma ist nun wirklich Unfug. Die erste Stelle vor dem Komma bedeutet ja Zentimeter, die erste Stelle nach dem Komma bedeutet Millimeter und die zweite bedeutet Zehntelmillimeter. Also ich behaupte mal, das kann keiner, mit vertretbarem Aufwand einen Kuchen auf den Zehntelmillimeter genau mit Schokoladenstreuseln bestreuen. Ich würde sagen, auf den Millimeter genau ist hier absolut ausreichend. Ich sag mal auf den Zentimeter ist vielleicht ein bisschen grob geschätzt, aber auf den Millimeter ist reichlich genau. Auch das wird noch sehr schwierig, das hinzukriegen. Antwort also (ich runde auf die erste Stelle nach dem Komma), Antwort ist dann, natürlich im ganzen Satz musst du das schreiben, 4,0cm. Also ich behaupte mal, das kann keiner, mit vertretbarem Aufwand einen Kuchen auf den Zehntelmillimeter genau mit Schokoladenstreuseln bestreuen. Ich habe 4,0 geschrieben, weil ich auf die erste Stelle nach dem Komma gerundet habe. Wenn ich nur 4 hinschreibe, würde das bedeuten, dass ich auf die erste Stelle vor dem Komma gerundet habe, was meiner Ansicht nach dir nicht die volle Punktzahl geben müsste, denn auf den Zentimeter zu runden ist zu grob hier und deshalb muss hier tatsächlich 4,0 stehen und nicht 4. Viel Spaß damit, tschüss!

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