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Transkript Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen

Hallo, wir haben ganzrationale Funktionen. Ist schon bekannt, erkläre ich nicht weiter. Nur eben der Hinweis: Das sind Funktionen, mit zum Beispiel solchen Funktionstermen hier, und wenn wir die ableiten wollen, dann brauchen wir dazu Ableitungsregeln und diese Regeln möchte ich jetzt vorstellen. Es sind nicht viele und dann kannst du alle ganzrationalen Funktionen ableiten.Beginnen möchte ich hier mit der Faktorregel, die hat schon etwas gelitten - macht nichts. Die Faktorregel bezieht sich auf Situationen, wo eine Funktion einfach mit einer Zahl multipliziert wird oder einem Funktionsterm. Wir könnten das hier zum Beispiel angucken. Hier steht -3×x5. Wenn wir sagen x5 ist der Funktionsterm, wird mit -3 multipliziert, dann greift hier die Faktorregel und die schreibt man so hin. Wir haben also (k×f(x))'. Das ist hier und das soll abgeleitet werden. Das ist diese Schreibweise hier. Große Klammer und der Strich dahinter bedeuten, diese Funktion wird jetzt hier abgeleitet, die ganze. Die kann man so ableiten, indem man f(x) ableitet und dann entsteht f'(x), und diese Ableitung mit dieser Zahl k multipliziert. Das würde hier bedeuten, auf diesen kleinen Fall beschränkt, auf den Funktionsterm, wenn er denn hier alleine stehen würde. -3×x5. Man leitet einfach x5 ab und multipliziert die Ableitung mit -3. Dann ist die Sache fertig.Als Nächstes haben wir die Summenregel. Die Summenregel bezieht sich auf Summen - wer hätte das gedacht. Und zwar, wenn 2 Funktionen, f(x) und g(x), eine Summe bilden und diese gesamte Summe abgeleitet werden soll, das bedeuten hier diese Klammern und der kleine Strich dahinter, die gesamte Summe wird abgeleitet, dann steht hier, dass man das summandenweise tun kann. Das ist quasi der einfachste Fall, der möglich ist. Da haben wir Glück, da muss man nicht viel rechnen. Man leitet einfach den ersten Summand, also f(x) ab und man leitet g(x) ab und dann ist die Sache auch erledigt. Ich will das hier noch einmal an dem kleinen Beispiel zeigen. Wenn jetzt der Funktionsterm so aussähe oder auch so, das ist egal, nur hier der Einfachheit halber, dann haben wir den Funktionsterm -3×x5+6×4. Wenn das so der Funktionsterm ist, dann kann man einfach diesen Summand hier, -3×x5, ableiten. Man kann 6×4 ableiten und dann die beiden Ableitungen addieren und dann entsteht der Term der Ableitungsfunktion oder, wie man auch normalerweise sagt, die Ableitung.Was fehlt noch? Es fehlt noch die Potenzregel. Das ist die dritte Regel, deshalb kommt sie hier auch ganz nach unten. Die Potenzregel, die dritte Regel, besagt, wenn wir einen Funktionsterm haben, der die Form hat xn, also xirgendeine Zahl - wollte ich nur gesagt haben, steht oft in Büchern "gilt für natürliche Zahlen" oder so etwas, das hier gilt für jede Zahl, xirgendeine Zahl. Das soll abgeleitet werden. Hier, dafür steht der Strich, Ableitung von xn. Das ist Folgendes: n×xn-1. Das bedeutet, dieser Exponent hier wird einfach vor den Funktionsterm geschrieben und der Exponent hier steht da auch noch einmal, allerdings um 1 vermindert, also n^-1. Noch einmal hier zu unserem Beispiel, möchte ich eben daran zeigen. Wenn wir den Funktionsterm haben x5, dann ist die Ableitung davon 5×x4. Kein Problem, 5 schreibt man davor, dann muss man hier noch 5-1 rechnen, das ist der neue Exponent, also 5×x^-4. Wenn man x4 ableitet, steht dann da 4×x3 usw. Ich glaube, das ist kein Problem und das brauche ich nicht mehr.Das sind hier die 3 Ableitungsregeln in voller Schönheit. Eine kleine Sache möchte ich noch anmerken an der Stelle. Und zwar kann man oft noch von einer vierten Regel lesen, die hier nicht die Nummer 4 sein soll, sondern die Regel Nummer 0. Ich möchte das einmal eben hier abtrennen. Wenn man die Regel hier benutzt, müsste man sie an erste Stelle schreiben, da die 1 aber schon vergeben ist und ich sie davor schreiben müsste, wenn ich sie hier noch auflisten wollte, kriegt sie die Nummer 0.Angenommen, eine Funktion besteht nur aus einer Konstanten. Das ist möglich, das darf man machen. Du kriegst Funktionen wie y=3 oder f(x)=3 oder so etwas, das geht. Der Graph ist ein Strich, eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und die kann man auch ableiten. Wenn die Ableitung also die Steigung angibt, wie groß ist die Steigung? Die Steigung ist überall 0. Daraus folgt, dass f'(x)=0. Warum mache ich so einen Tanz um diese Regel hier? Warum hat die, die Nummer 0, warum nicht einfach die Nummer 4? Weil sie sich aus der Potenzregel ergibt. Das Ergeben aus der Potenzregel ist, im Vergleich zur Regel selbst, kompliziert. Deshalb wird, weil diese Regel so einfach ist, sie noch einmal getrennt hingeschrieben. Wie auch immer: Ich denke, das ist so einfach, dass du dir das einfach merken kannst und da braucht man keine großen Diskussionen führen. Ich werde es irgendwann noch einmal zeigen, in einem anderen Film, wie diese Regel aus der Potenzregel folgt.Letztenendes brauchst du diese 3 Regeln und das sieht man auch so, die Regel Nummer 0. Es folgen Beispiele, bis dahin. Viel Spaß. Tschüss.

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