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Transkript Ableitungen trigonometrischer Funktionen (4)

Hallo! Zwei kleine Sachen möchte ich noch zeigen zu den Ableitungen trigonometrischer Funktionen und deren  Kombinationen. Wir haben f(x) = cos(x) / sin(x). Das ist übrigens der Cotangent von x. Ja, und manchmal wird Cotangens gemacht, manchmal nicht. Weiß ich nicht, vielleicht ist das jetzt modern, dass man sich das spart oder so. Okay, wie kann man da vorgehen? Wir brauchen zunächst mal die Ableitungen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen und wir brauchen die Quotientenregel. Dann kommen wir zu folgender Ableitung und ich lass das hier mit der Ableitung mal weg. Hier kommt die Ableitung hin, ja, damit ich genügend Platz habe hier auf der kleinen Tafel. So, wir brauchen also als Erstes nach der Quotientenregel, die Ableitung des Zählers. Und das ist also hier -sin(x). Der Zähler ist cos(x) natürlich, aber die Ableitung davon ist -sin(x), und dann müssen wir mit dem Nenner multiplizieren und das ist sin(x). Und dann kommt ein Minuszeichen und dann kommt der Zähler dahin: cos(x) × die Ableitung des Nenners und das ist cos(x). Und das Ganze muss dann geteilt werden durch das Quadrat des Nenners, also sin2(x). Ja, so schreibt man das. So, das ist die Ableitung. Und da wir ja jetzt hier sehen, dass wir -1 ausklammern können, ja, da und da. Und da steht dann noch sin2 + cos2. Dann wissen wir also, dass das 1 ist, -1 haben wir ausgeklammert, also -1 / sin2(x). Hat gerade noch hingepasst: -1 / sin2(x). Das ist die Ableitung des Cotangents beziehungsweise die Ableitung von cos(x) / sin(x). So, und dann haben wir noch eine freundliche Funktion, nämlich f(x) = sin2(x) / cos2(x). Ja, und da muss ich jetzt schon mal schmunzeln, denn ich könnte mir vorstellen, dass der eine oder andere sein Programm jetzt bemüht und das mal eintippt oder eingibt in den Computer, um mal zu gucken, was da für ne Ableitung rauskommt. Ja, nimm mal verschiedene Programme und guck mal nach, was die dir anzeigen. Also, ich habe jetzt sehr verschiedene Versionen gefunden in verschiedenen Programmen. Daher ist es wichtig, dass man da so ein bisschen den Überblick behält und weiß, was man tut, und warum was angezeigt wird und wie die Zusammenhänge sind. Sonst hat man nämlich das Problem, dass man eine Anzeige hat und nicht weiß, ja, passt die jetzt mit der anderen zusammen oder was ist denn das jetzt eigentlich, in meinem Lösungsbuch steht doch etwas anderes, ja, es ist doch trotzdem die gleiche Funktion oder nicht. Das muss man sich dann ein bisschen überlegen. Also, ich brauche ein bisschen Platz, denn die Ableitung wird ein bisschen länglicher. Wir haben hier einen Quotienten. Wir brauchen die Quotientenregel und wir haben jeweils eine verkettete Funktion im Zähler und im Nenner. Das heißt, wir brauchen jeweils noch die Kettenregel. Zunächst zur Ableitung des Zählers: Die Ableitung von sin2(x) können wir bestimmen, indem wir zunächst mal zum Beispiel die äußere Funktion ableiten. Die äußere Funktion ist das Quadrat am Sinus. Also, wenn man eine Funktion ^2 ableitet, kriegt man 2 × diese Funktion so als äußere Ableitung. Das heißt, wir haben hier 2 × sin(x). Und dann fehlt noch die Ableitung der inneren Funktion. Das ist dann also cos(x), denn die innere Funktion ist ja sin(x). Dann müssen wir multiplizieren mit dem Nenner und das ist cos2(x). Dann kommt ein Minuszeichen und der Zähler kommt dazu. Also, das ist sin2(x) × die Ableitung des Nenners. Das ist also wieder äußere Funktion ableiten, cos2 ist das, also die innere Funktion ^2. Äußere Ableitung ist dann 2 × innere Funktion, also 2 × cos(x). Und dann fehlt uns noch die Ableitung der inneren Funktion, also die Ableitung des Cosinus, und das ist -sin(x). So, und da gehen 2 Klammer zu, genau. Und dann kommt ein langer, langer, langer Bruchstrich, denn wir müssen ja noch durch das Quadrat des Nenners teilen. Also, Cosinus zum Quadrat, zum Quadrat bedeutet cos4(x). so, und deshalb brauchte ich jetzt 2 Tafeln, damit das ein mal hier in voller Schönheit sehen kann. War ein bisschen dunkel an der einen Ecke, aber ich glaube, es ist klar geworden. So, was können wir jetzt machen? Wir können etwas ausklammern, und zwar 2 × sin × cos. Das kommt ja hier vor. Das ist ja auch ein Produkt: 2 × sin, hier steht -sin, ist egal, muss ich noch -1 extra ausklammern. Aber 2 × cos(x) × sin(x) ist auch da. Das bedeutet, das können wir jetzt ausklammern. So, dann geht es also los:  2 × sin(x) × cos(x) wird multipliziert mit, ja, was bleibt hier noch, hier bleibt noch cos2(x). Jetzt haben wir hier ein Minus und da auch ein Minus, das wird zu Plus. Wir haben ausgeklammert 2 × cos(x) × sin(x), ist ja egal in welcher Reihenfolge, und es bleibt noch übrig sin2(x). Ja, die beiden Minuszeichen sind schon weg. Also, sin2(x) und da geht diese Klammer hier zu. Und das waren sie alle und der Bruchstrich kommt noch, also cos4(x). So, und jetzt ist es keine Kunst mehr, hoffe ich, das weiter umzuformen, denn du kennst ja den trigonometrischen Pythagoras. Das bedeutet, du weißt ja, dass cos2 + sin2 = 1 ist. Das heißt, ich kann die ganze Klammer hier weglassen. Dann bleibt noch 2 × sin × cos übrig, geteilt durch cos4, von x jeweils, habe ich jetzt weggelassen. Dann kann man ein mal Cosinus kürzen. Es bleibt also: 2 × sin(x) / cos3(x). So, dann ist das schon viel freundlicher geworden hier und auch das kann man noch weiter umformen. Ich mache das jetzt deshalb, das weitere Umformen, weil ja in verschiedenen Programmen verschiedene Sachen angezeigt werden. So, ich hab das auch schon gesehen hier beziehungsweise das hier. Bis auf die Zusammenfassung dieser beiden Minuszeichen ist da nichts Weiter zusammengefasst worden. Auch das gibt es so, was angezeigt wird. Man kann es ja weiter zusammenfassen, dann sollte man das auch tun. Jetzt kann ich diesen Term noch weiter zerlegen, und zwar in: (2 × sin(x) / cos(x)) × (1 / cos2(x)). Ja, ich glaube, sind wir uns einig, ist einfache Bruchrechnung hier. Ja, denn sin(x) und cos(x) sind ja, wenn man Zahlen einsetzt für x, ganz normale Zahlen. Man kann einfach die Bruchrechnung anwenden. Da ist sie wieder die Bruchrechnung. sin(x) / cos(x) ist Tangens von x. Also kann man schreiben: 2 × tan(x), auch das geht, × (1 / cos2(x)). Ja, das haben wir schon besprochen: 1 / cos2(x) ist die Ableitung des Tangens. Ich musste doch noch mal nachgucken, Ableitung des Tangens, nicht, dass sich ein Fehler einschleicht. Das heißt, wir haben also tan(x) × die Ableitung von Tangens x, also tan'(x). So kann man das schreiben. Ja, ist doch ganz süß geworden jetzt: 2 × tan(x) ×tan'(x). Es gibt auch die Version: 2 × tan(x) × sec2(x). Der Sekans ist der reziproke Wert der Cosinusfunktion. Also, 1 / cos(x) ist der Sekans von x und da wir hier 1 / cos2(x) haben, müssen wir hier sec2(x) nehmen. Ja, kein Problem, auch so kann man das schreiben. Dann soll es mal mit diesen Umformungen hier genügen. Habe ich nur gemacht, um ein Mal zu zeigen, also es gibt verschiedene Versionen, mann kann das verschieden schreiben. Wenn du das in ein Programm mal eingibst und dir die Ableitung zeigen lässt, kannst du verschiedene Versionen erhalten. Aber wenn du dann umformen kannst und dich ein bisschen mit den trigonometrischen Funktionen auskennst, siehst du, dass das dann alles das Gleiche ist und dann vertragen sich die ganzen Programme wieder. Und dann sind wir alle froh. So, das soll damit genügen. Viel Spaß damit! Tschüss!

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