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Transkript Ableitungen trigonometrischer Funktionen (3)

Hallo, wir machen Ableitungen trigonometrischer Funktionen. Jetzt kommt eine Regel dazu, die ich bisher nicht verwendet habe: die Quotientenregel. Wir gehen davon aus, wir haben eine Funktion (u/v) bzw. (u(x))/(v(x)) könnte man auch sagen, aber das lasse ich an dieser Stelle mal weg. Die Funktion (u/v) wird abgeleitet und erhält einen Ableitungsstrich [']. Das sieht dann so aus: (u/v)' - ich sage das nur deshalb, falls manche diese Schreibweise nicht kennen. Ableitung eines Quotienten: Wir nehmen den Zähler und leiten ihn ab. Ableitung des Zählers mal Nenner [u'×v'] minus Zähler mal Ableitung des Nenners [-u×v'] geteilt durch Nenner zum Quadrat [/v²]. Das ist die Quotientenregel: (u/v)'=(u'×v-u×v')/v² Ich gehe davon aus, dass Du die kennst und damit schon gearbeitet hast. Neu ist jetzt, dass sie auf Funktionen angewendet wird, in denen auch Sinus, Cosinus und Tangens vorkommen, also die trigonometrischen Funktionen. Wir fangen ganz sachte an: f(x)=2x/cos(x). Das soll abgeleitet werden. Was kann man da tun? Wir brauchen die Quotientenregel. Dann passiert Folgendes: wir haben f'(x)=(2×cos(x)+2x×sin(x))/cos²(x) [Zähler ist 2x, abgeleitet ist das 2. Der Nenner ist cos(x), daher mal cos(x). Minus Zähler, 2x, und die Ableitung des Nenners ist -sin(x), anstatt -sin(x) hinzuschreiben, wird aus dem ersten Minus ein Plus. Das ist bisher der ganze Zähler, der wird geteilt durch cos²(x)] Das ist die Ableitung, die könnte ich auch als zwei Brüche schreiben.[Um den Umgang mit den trigonometrischen Formeln ein wenig zu üben, zeige ich das hier mal. Die Funktion könnte aber auch so stehen bleiben.] f'(x)=(2×cos(x))/(cos²(x))+(2x×sin(x))/(cos²(x)) Um das fortführen zu können, brauche ich noch eine weitere Tafel. Also, einmal Cosinus können wir kürzen, es bleibt 2×cos(x). Den zweiten Bruch kann ich noch mal aufteilen in 2x/cos(x) und sin(x)/cos(x), was sich ja aus der Bruchrechnung ergibt. Das sin(x)/cos(x) der tan(x) ist, haben wir nun: 2×cos(x)+(2×x)/(cos(x))×(tan(x)) Wenn Du das mal nachguckst, in einem Programm, das Ableitungen schreibt, da könnte es sein, dass auch mal so ausgegeben wird. Da musst Du nicht irritiert sein. Es ist gut, wenn Du trotz Computerprogrammen mit solchen Funktionen umgehen kannst, damit Du verstehen kannst, was da passiert und was Dir angezeigt wird. Weiter geht es mit der Ableitung von tan(x). Es ist nicht so wichtig, ob Du das nun hergeleitet hast oder nicht.  Diese Definition hatte ich ja zuvor schon verwendet. f(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x) An dem Term sieht man gut, wie man auf die Ableitung von tan(x) kommt: indem auf sin(x)/cos(x) die Quotientenregel angewendet wird. Das geht folgendermaßen: f'(x)=(cos(x)×cos(x)+sin(x)×sin(x))/cos(x) [Ableitung des Zählers, cos(x), mal Nenner, cos(x),  minus Zähler, sin(x), mal Ableitung des Zählers, -sin(x), daher wird aus dem ersten Minus wieder ein Plus. Das Ganze wird dann geteilt durch das Quadrat des Nenners, cos²(x)] Nun kommt wieder der trigonometrische Pythagoras ins Spiel. Hier oben steht ja cos²(x)+sin²(x). Das ist 1, daher ist die Ableitung von f'(x)=1/cos²(x) Eigentlich wollte ich euch drei Funktionen zeigen, aber die Dritte verschiebe ich auf den nächsten Film. Da wird das dann umgekehrt. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.

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1 Kommentar
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    bei 3:40 wird 2*cosx/cos^2x gekürzt und bleibt 2cosx übrig. eigentlich bleibt da doch noch cosx im nenner stehen oder? also 2/cosx

    Von Bootylicious1, vor fast 4 Jahren