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Transkript Ableitungen trigonometrischer Funktionen (2)

Hallo! Es geht weiter mit ein paar Ableitungen trigonometrischer Funktionen und da habe ich mal Folgendes vorbereitet: Wir haben f(x) = sin(t) - cos(x). Ja, das kann vorkommen, dass da auch ein sin(t) drinsteckt und hier muss man sich jetzt einfach überlegen, das t für eine bestimmte Zahl steht und sin(t) damit auch für eine bestimmte Zahl. Das heißt, das ist einfach eine Zahl, so als ob da 3 stehen würde, zum Beispiel 3 - cos(x). Ich sag das deshalb so, weil das schon mal Verwirrung stiften kann, dass man dann denkt, was muss ich jetzt ableiten. Nein, das ist einfach nur eine Zahl, wenn die Funktion von x abhängt und nicht von t, ist das eine Zahl. Die Ableitung einer Zahl, einer konstanten Funktion also, ist gleich 0. Dann haben wir das Minuszeichen und wir brauchen noch die Ableitung von cos(x). Das ist - (-sin(x)) und deshalb ist die ganze Ableitung hier sin(x). Minus mal Minus ist gleich Plus, glaub ich, sind wir uns einig. Dann als Nächstes kommt folgende Funktion, nämlich cos(x) × sin (x3 +3). Und da braucht man wieder die Produktregel und auch die Kettenregel. Aber kein Problem, einfach hintereinander anwenden, sich nicht irritieren lassen. Wenn das jetzt neu für dich ist mit dem Sinus und Cosinus, das sieht immer so anders aus als andere Funktionen, da denkt man immer, ist kompliziert, ist gar nicht. Jetzt pass auf hier, so machen wir das. Also f ' (x), wir haben ein Produkt, der erste Faktor ist cos(x). Hab die Produktregel im letzten Film aufgeschrieben, mach ich jetzt hier nicht noch mal. Du hast sie ja sowieso notiert, nehm ich mal an, oder? Du kennst sie ja. Ableitung der ersten Funktion ist also dann -sin(x) mal zweiter Faktor, also sin (x3 +3) plus ersten Faktor hinschreiben, nämlich cos(x) mal Ableitung des zweiten Faktors. Und dieser zweite Faktor ist nun eine verkettete Funktion. Wenn du jetzt hier nur für den zweiten Faktor, für x etwas einsetzt und das Ganze ausrechnest, dann rechnest du erst x3, also die Zahl die du für x eingesetzt hast hoch 3, das Ergebnis +3 und davon bestimmst du dann den Sinus. Ja hier ist es auch, wollte ich gerade noch sagen, wichtig, dass du das Mal gerechnet hast irgendwann, damit du weißt, wie das vonstattengeht und auch eben hier eben erkennen kannst, wann, wo, wie die Funktion verkettet ist. Also innere Funktion ist x3 +3. Die kann man ableiten, mache ich jetzt als Erstes. Kettenregel ist ja innere Ableitung mal äußere Ableitung oder auch äußere Ableitung mal innere Ableitung. Ist ja, egal wie rum das gemacht wird, ich fang jetzt mit der Inneren an. Ich muss x3 ableiten, das ist 3x2 und die Ableitung von +3 ist 0, die brauch ich nicht weiter hinschreiben. Ableitung der äußeren Funktion ist, die Ableitung von Sinus ist ja Cosinus, nicht wahr? Also Ableitung der äußeren Funktion ist dann cos (x3 +3). So und das kann man jetzt noch zusammenfassen, wollte ich sagen, aber eigentlich ist da nicht viel möglich. Normalerweise schreibt man die 3x2 dann hier vorne hin, dann hat man alles, was hier so ganz rational ist und danach kommen die trigonometrischen Sachen, hier oben kann ich sowieso nichts zusammenfassen und darauf möchte ich an der Stelle noch mal hinweisen. Hier kann man auch irgendwie nichts ausklammern oder so. Das man sagt, ich klammer den Sinus aus oder so, es ist vorgekommen, deshalb sage ich das. Auch kannst du sin(x) oder sin (2x) und sin (x2) nicht zusammenfassen. Wir haben unterschiedliche Argumente dieser Funktion hier, also das, wovon der Sinus gebildet wird, wenn das unterschiedlich ist, kann man da nichts zusammenfassen. Hier also dann in aller Deutlichkeit. Und ob ich die 3x2 da vorne hinschreibe oder nicht, ist glaub ich auch Wurst. So, nächste Funktion ist f(x) = cos2(x) + sin2(x) und die Ableitung davon ist, ja, da muss man ein Mal scharf  nachdenken, das solltest du kennen. Das ist der trigonometrische Pythagoras. cos2(x) + sin2(x) oder umgekehrt kann man ja sagen, ist egal, ist immer 1 und deshalb ist die Ableitung von dieser Funktion 0. Also manchmal kann es auch sehr einfach sein. Gut, das war es dazu, kommen weitere Ableitungsfunktionen. So, viel Spaß damit. Tschüss

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