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Transkript Ableitungen – Beispiele (9)

Hallo, hier habe ich eine kleine Funktion vorbereitet zum Ableiten mit den ersten drei Ableitungsregeln, also Faktorregel, Summenregel und Potenzregel. Die Funktion lautet f(x)=ax²n-3-k×x³n-2/(3n-3)×x. Wie du schon aus den vorigen Filmen hoffentlich weißt, kann man hier erst umformen und dann Potenzregeln usw. anwenden. Ich möchte mich hier mal drauf beschränken, diesen kleinen Bruch ein bisschen umzuwandeln, ansonsten sehen wir hier klar: es ist eine Summe. Das ist ein Summand, das ist der andere Summand. Hierauf können wir ganz normal unsere Faktorregel anwenden, denn dieses a ist ja ein konstanter Faktor, der mit dem x hoch multipliziert wird. Und x hoch leiten wir immer ab mit der Potenzregel. Wir können ja in die Potenzregel für n irgendwas einsetzen, eben auch 2n-3. Das ist hier kein Problem, hier müssen wir ein bisschen umformen. Also es geht hier um einen Bruch, den schreibe ich jetzt einfach noch mal hier hin. Minus nicht vergessen und dann können wir sehen, da es sich bei diesem Zähler und diesem Nenner jeweils um ein Produkt handelt. Dann können wir diesen Bruch in zwei getrennte Brüche zerlegen. Ich möchte in dem einen Bruch das haben, was kein x enthält, also das, was die Konstante ist letzten Endes hier. Das ist das k, für k kann man irgendeine Zahl einsetzen, das ist egal. Und dann wird daraus, wenn man etwas einsetzt, nur eine ganz normale Zahl und man kann das auch hier als Konstante behandeln. Im Nenner haben wir 3n-3 und das ist schon das, was hier konstant ist, der andere Faktor, der jetzt hier ein Bruch ist, enthält ja die Terme, die x enthalten. Also x³n-2/x. Jetzt wissen wir, das geteilt durch x bedeutet ×x-¹. Das ist aus der Potenzregel, das erkläre ich jetzt nicht noch einmal alles. Also können wir einfach schreiben x³n-2×x-¹. Sollte dir das nicht geläufig sein, kannst du die Potenzfilme gucken, da wo es um die negativen Exponenten geht und so etwas, da ist das alles erklärt. Es ist ja alles da, da kannst du dann nachgucken. So und jetzt darf ich hier mal ein bisschen was wegwischen, denn wir wissen, wenn wir ein x hoch irgendwas haben, mal ein x hoch irgendwas anderes, dann ist es ein Produkt. Die Basen sind gleich, das bedeutet also, dass wir die Exponenten addieren können und das möchte ich jetzt hier mal machen, indem ich das eben kurz auswische. Und zwar müssen wir rechnen 3n-2±1, das heißt, wenn wir das abziehen, 3n-2-1 ist 3n-3. So wunderbar, das also zu den zweiten Summanden, jetzt kann man ihn kann normal mit der Potenzregel und der Faktorregel ableiten. Übrigens, das habe ich bewusst so gewählt: Hier steht 3n-3 und hier steht auch 3n-3 - das kann man nicht kürzen. Ich wollte das nur sagen. 3n-3 ist hier im Exponenten und Exponenten aus Summen kann man nicht kürzen. Das steht hier nicht so auf dem Bruchstrich und deshalb geht das nicht, nur der Vollständigkeit halber. Dann glaube ich, ich muss das jetzt nicht noch mal abschreiben, wie die Funktion aussieht, stell dir einfach vor: Statt dieses Bruches ist jetzt dieser Term vorhanden und den kann ich jetzt ableiten. Das bedeutet wir haben als Ableitung - fangen wir ein bisschen mittig an, das heißt, jetzt mache ich das wieder und denke einfach vorher daran, dass ich das tun muss. Wir haben hier einen konstanten Faktor, da können wir die Faktorregel drauf anwenden, hier auf dieses a. Wir wissen aus der Potenzregel, dass dann dieser Exponent vor das x geschrieben wird. Also haben wir a×(2n-3).  Von 2n-3 muss ich 1 abziehen, dann erhalte ich 2n-4. Minus passt nicht mehr hin, das muss in die 2. Zeile. Dieser Faktor bleibt einfach erhalten, nämlich im Nenner 3n-3 und im Zähler k, und dann kommt noch dieser Exponent hinzu, der dann einfach hier mit dazugeschrieben wird. Also k×(3n-3)×x³n-4, weil wir von 3n eins abziehen müssen. Auch hier gibt es also eine -4 am Ende. Jetzt kannst du etwas kürzen, denn 3n-3 ist der Nenner und 3n-3 hier oben ist ein Faktor im Zähler. Jetzt kannst du mit dieser Summe kürzen. Ich mache das hier ganz einfach, indem ich es wegwische, dann muss ich nicht alles noch mal schreiben. Also bleibt hier noch einfach stehen -k, weil wir jetzt 3n-3 kürzen konnten. Das ist dann hier die freundliche Ableitung, die wir hier erhalten.  Wenn hier noch übrigens eine 3 gestanden hätte, bei 3n, dann hätten wir es noch weiter zusammenfassen können. Das wäre noch lustiger gewesen. Aber das kommt dann in der Frage im Anschluss des Films. Viel Spaß damit. Tschüss.

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