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Transkript Ableitungen – Beispiele (8)

Hallo! Hier ist eine ganz normale Funktion zum ganz normalen Ableiten. Ich les die mal vor, falls du Angst haben solltest, dich verguckt zu haben: f(x)=?x+7/x-1/^2×?x. Auch diese Funktion kannst du ganz normal mit den 3 Regeln Faktorregel, Summenregel, Potenzregel ableiten, da ist nichts Besonderes dran. Allerdings solltest du hier feststellen, in der Potenzregel zum Beispiel kommt keine Wurzel vor, ebenso in den anderen beiden Regeln auch nicht. Und der Gedankengang, der sich jetzt hier bei dir Bahn brechen sollte, ist also, ich forme diesen Term um, und zwar so, dass ich meine Ableitungsregeln verwenden kann. Wie formt man nun einen solchen Term um? Auch hier sollte der Gedankengang relativ naheliegend sich in deinem Hirn verbreiten, nämlich: ich sehe eine Wurzel und frage mich, könnte ich vielleicht die Dinge, die ich über Wurzeln gelernt habe, hier verwenden? Da gibt es Formeln, die mit Wurzeln zu tun haben, und die könnte ich vielleicht auf diesen Term anwenden. Ich sag das deshalb so deutlich, weil es eben oft nicht gemacht wird. Aber ich glaube, das liegt nicht daran, dass man nicht drauf kommt, dass man vielleicht Wurzelgesetze verwenden könnte, sondern weil man beim Anblick der Wurzel merkt, oh, ich hab alle Wurzelgesetze vergessen. Ja, und das ist unangenehm, und deshalb versucht man irgendwie, aus der Nummer herauszukommen, ohne die Wurzelgesetze anzuwenden. Aber das funktioniert nicht. Da ist die Mathematik unerbittlich. Man kann vielleicht andere Leute damit tuppen oder so was, aber die Mathematik nicht. Dann, das wollte ich gar nicht schreiben, sondern ich wollte erst den Term umformen. Und zwar haben wir ja Folgendes gehabt: wir wissen, dass Wurzeln nichts anderes sind als ganz normale Exponenten, und zwar ist die ?x = x^½. Und x^½ sieht schon viel eher nach Potenzregel aus und da kommen wir also drauf klar. So, 7/x ist 7×1/x, das wissen wir aus der Bruchrechnung. 1÷x bedeutet x^-1, auch das darf man ruhig noch wissen, hat man bei den Potenzen gemacht. Lang ist es her, macht nichts, sollte man trotzdem wissen. Wie gesagt, auch die Vokabeln aus der 5. Klasse darfst du in Englisch nicht vergessen. Auch hier sind die Dinge, die du schon vor Jahren gemacht hast, wieder aktuell. Nun haben wir hier -1/x2 bedeutet x^-2. x^-2×?x. Und diese ?x muss ich ja so auch nicht hinschreiben, denn ?x ist ja nichts anderes als x^½. Und auch da darfst du dich erinnern an die Potenzgesetze. Wenn man nämlich 2 Potenzen multipliziert, dann addieren sich die Exponenten, auch das kann man hier machen. So, das Minuszeichen bleibt, wenn ich die beiden Exponenten addiere: -2, +½. Dann kommt da -1,5 raus und das kann ich auch einfach so hinschreiben. ich könnte natürlich auch -3/2 schreiben, aber aus Platzgründen nehm ich mal die -1,5 hier. So, das ist also jetzt die Umformung dieses Funktionsterms, und jetzt können wir zur Ableitung schreiten.  Nämlich Folgendes passiert. Es handelt sich um eine Summe bei diesem Funktionsterm, das haben wir schon bemerkt. Wir dürfen x^½ nach Potenzregel ableiten. Für n wird ½ eingesetzt, dann steht hier x^-½. Also f`'(x)=½x^-½. Den Fehler solltest du zum Beispiel nicht machen, den ich jetzt hier gemacht habe. Immer nach oben genügend Platz lassen. Das muss wirklich hier eine vertikale Ausdehnung haben, damit man ordentlich erkennen kann, dass -½ jetzt ein Exponent ist und nicht, dass das x damit multipliziert wird oder so. Und alles natürlich auch groß genug, auch die Exponenten. 7×x^-1 ist abzuleiten. -1 wird davor geschrieben, wir setzten für n -1 ein, n in der Potenzregel, nicht wahr? Und dann steht da also -7, wobei 7×-1=-7 ist. x^-1-1=-2. Und das ist hier die Ableitung des zweiten Summanden. Wir dürfen ja laut Summenregel summandweise ableiten. Minus dieses ganze Zeugs hier, -1,5 steht da, ich mach mir erst um das Vorzeichen Gedanken. Ich werde ja -1,5 dann davor schreiben. -×-=+, also +1,5×x^, ich setzte in die Potenzregel für n -1,5 ein, dann muss ich noch 1 abziehen, das ist also -2,5 und das ist dann auch hier das Ergebnis. Glücklich passt dies da gerade noch hin. Das hier ist die Ableitungsfunktion also ½×x^-½-7x^-2+1,5×x^-2,5. Ja, das ist hier also ganz normal passiert mit der Summenregel, der Potenzregel, ebenso mit der Faktorregel, nur dass es hier ein paar negative Zahlen gibt. Und hier vorne musstest du halt noch Wurzelgesetze und Potenzgesetze anwenden, aber die sind wie gesagt immer aktuell. Das sollte dich nicht aus der Ruhe bringen. Viel Spaß damit! Tschüss!

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