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Transkript Ableitungen – Beispiele (6)

Hallo, hier habe ich eine Funktion vorbereitet, fertig zum Ableiten. Wie sie lautet, brauch ich nicht vorlesen. Was kann man hier machen? Du stellst zunächst fest, es handelt sich hier um eine Summe. Du weißt also, dann kannst du hier die Summenregel anwenden. Das ist ein Summand und hier minus dieser Bruch, ist der andere Summand. Die Regeln hab ich jetzt noch mal aufgeschrieben, ich denke, die hast du mittlerweile im Kopf. Ansonsten kannst du auch irgendwo nachschauen, irgendwo werden sie ja wohl stehen, in deinen Unterlagen. Der Erste sollte kein Problem sein, das haben wir schon gemacht. Der 2. Summand, was kann man da machen? Was man nicht machen kann, ist folgendes, also Leute versuchen hier, ich hab ja ein hoch 2, also wende ich die Potenzregel an. Die Potenzregel startet so, wenn man ein xn hat, dann kann man das nun irgendwie ableiten. Darüber sagt die Potenzregel was aus. Aber sie sagt nichts darüber aus, was passiert, wenn hier eine Klammer steht und diese Klammer potenziert wird. Einer Klammer mit einer Summe drin. Also diese Potenzregel kannst du jetzt nicht anwenden. Und ich erleb das eben immer wieder, dass dann Schüler einfach irgendwas machen und dann so lange mit diesen 3 Ableitungsregeln rumfummeln, bis dann überhaupt nichts mehr raus kommt. Das ist nicht gut. Du solltest dir an dieser Stelle überlegen, wenn ich die Regeln nicht anwenden kann, was kann ich denn dann stattdessen machen. Und dann möchte ich mal ganz ausführlich werden, weil ich das auch immer wieder erlebe, dass dann Schüler da sitzen und sagen, ich weiß nicht weiter. Und meine Frage ist immer die gleiche dann an der Stelle, oder meine Aufforderung ist, überlege dir bitte, ob es etwas gibt, was du bisher in der Mathematik gemacht hast, was du hierauf anwenden kannst. Das ist immer die gleiche Aufforderung, das ist immer die gleiche Überlegung. Du müsstest dir überlegen, was ist das denn hier, zu welchem Thema gehört das oder gibt es ein Thema, was ich in der Mittelstufe vielleicht gemacht habe, was jetzt hier greifen könnte. Das solltest du, immer wenn du nicht weiter weißt, überlegen, ob du was anderes aus deinem mathematischen Wissen hier anwenden kannst. Und, was dir hier auffallen darf, ist, das es ein Term ist. Es ist zum Beispiel kein Zylinder, es ist auch kein rechtwinkliges Dreieck. Die Sachen kannst du nicht verwenden. Hier das ist ein Term und du hast was gemacht zu Termen, nämlich Termumformungen. Und da sollte dir bitte einfallen, du könntest vielleicht diesen Term so umformen, dass du hinterher die Ableitungsregeln verwenden kannst. Das ist eine Überlegung, die eben ganz oft vorkommt. Du kannst sie dir einfach merken und beim nächsten Mal vielleicht wieder anwenden. Oder zumindest sollte dir einfallen, dass es eine solche Methode, eine solche Überlegung gibt. So, nun möchte ich aber nicht mehr zu der Methode was sagen, sondern hier weiterkommen. Also, Termumformungen, was darf dir da einfallen? Wenn du einen solchen Ausdruck siehst, richtig, binomische Formeln. Das hast du zwar auch in der Mittelstufe gemacht und bist jetzt in der Oberstufe. Trotzdem darfst du ja die Dinge verwenden, die du in der Mittelstufe gemacht hast. Das ist ja in anderen Fächern auch nicht so. In Englisch zum Beispiel musst du auch nicht alle Vokabeln vergessen, die du in der Unter- und Mittelstufe gemacht hast, wenn du jetzt in der Oberstufe bist. Nein, du brauchst die Vokabeln immer noch, die du früher gemacht hast. Und das ist bei den Formeln auch so. Die braucht man immer. Deshalb macht man die irgendwann, damit man die hinterher noch mal verwenden kann. Also hier darf man eine binomische Formel entdecken, nämlich die 2. Binomische Formel. Die startet so, wir haben hier in dem 1. Kästchen ein x²-1, und das ganze zum Quadrat. Und das kann man umformen. Ich mach das auch noch mal ganz ausführlich, weil viele Schüler die binomischen Formeln einfach vergessen. Dann haben wir hier also in dem roten Kästchen x², hier auch noch mal x². Dieses (x²) hab ich hier in Klammern geschrieben, weil das Ganze ja quadriert wird. Es wäre in dem Fall nicht unbedingt nötig gewesen, aber, naja, besser mal eine zu viel machen, als eine zu wenig. Hier kommt eine 1 hinein und da auch. Und dann darf ich hier diesen Zähler umformen, entsprechend der binomischen Formel. Ich glaube, ich kann das weglegen, oder ich kann es auch da unten hinlegen. Damit du siehst, dass das hier auch alles regelgerecht vonstatten geht. Also, das was ich nicht umforme, das bleibt einfach so stehen, so wie es ist, nämlich 1/3×x9, an dem Minuszeichen hab ich auch nichts gemacht, an dem Nenner übrigens auch nicht, der bleibt jetzt auch wie er ist da stehen, einfach eine 7. Der Zähler hat sich jetzt geändert. Hier steht jetzt x4, x² zum Quadrat ist x4. Dann kann ich das auch gleich ausrechnen -2×(x²)×1=-2x². Und hier hinten hab ich noch +1 stehen. Denn 1²=1 und das ist mein neuer Therm. Jetzt kann ich immer noch nicht richtig die Ableitungsregeln verwenden, denn ich habe das Ganze hier in dem Zähler und einen Nenner habe ich auch noch. Und da haben wir bisher nichts dazu gemacht. Aber jetzt darfst du wieder das verwenden, was du aus der Bruchrechnung kennst. Das ist jetzt Unterstufe. Denn du kannst hier jeden einzelnen Summanden des Nenners durch 7 teilen. Außerdem weißt du ja aus der Bruchrechnung, wenn man etwas durch 7 teilt, ist es das gleiche, wie mit 1/7 multiplizieren. Das kommt jetzt auch wieder. Das sollte dich nicht aus der Ruhe bringen, weil du das wirklich ganz oft wiederholt hast, das ist Unterstufenstoff. Ich sage das alles in diesem Film mal sehr deutlich, weil das eben so immer wieder vorkommt und weil ich das in der Praxis auch immer wieder sagen muss, dass man jetzt Bruchrechnung verwenden soll und sich daran bitte erinnern sollte, was man in der Bruchrechnung gemacht hat. Also, mann kann jetzt hier jeden einzelnen Summanden des Zählers mit 1/7 multiplizieren und erhält das Gleiche wie vorher, also ein Ergebnis gleichen Therm. Und man muss natürlich hier das Vorzeichen beachten, hier steht ja -x ^4. Also kann ich hier schreiben, -1/7x4. Hier hab ich Minus und noch ein Minuszeichen, das ergibt +. Also kann ich hier im Ganzen schreiben +2/7×x². Auch, dass ich jetzt hier die 2 zu der 7 packe und das als einen eigenen Koeffizienten behandele, das ist auch ganz elementare Bruchrechnung, was ich hier jetzt nicht mehr alles weiter erkläre. Und dann kommt noch -×+ ist -1/7. Und das ist jetzt der Term, auf den ich die 3 Ableitungsregeln anwenden kann und du, hoffe ich, auch. Du kannst das jetzt auch. Also, dann geht es jetzt los mit der Ableitung. Wir haben einen Summanden, bestehend aus 1/3×x9. 1/3 ist ein konstanter Faktor vor dem Term x9. Wir wissen aus der Faktorregel, dass dieser einfach erhalten bleibt in der Ableitung. Dann haben wir x9, das können wir ableiten mithilfe der Potenzregel. Es kommt heraus 9×x8. Dann steht hier 1/7×x4. -1/7 ist ein konstanter Faktor, deshalb wird er einfach davor geschrieben, also vor die Ableitung, die jetzt noch hier weiter kommt. Also ein konstanter Faktor, den du jetzt mit der Faktorregel behandelst. x4 mit der Potenzregel, bitte sehr 4x3 kommt da raus. Und dann muss ich hier in der 2. Zeile weiter schreiben, aber auch das ist kein Problem. 2/7×x². 2/7 ist ein konstanter Faktor, der mit der Faktorregel zu behandeln ist. und x² kann man nach der Potenzregel ableiten, also 2x1, bzw. 2x kann man dann schreiben. Ich hoffe, ich mache das alles richtig, bei dem ganzen Gequatsche kann ich mich gar nicht konzentrieren. -1/7 abgeleitet, haben wir konstante Funktion, das ist also 0. Die Ableitung ist 0. Und dann muss man hier noch ein bisschen aufräumen. Wir haben dann 1/3×x8. 1/3×9, Bruchrechnung, sollte kein Problem sein, ist 3. Dann kommt -1/7×4x3, das ist auch einfach -4/7. Das kann man so stehen lassen, man braucht hier keinen Taschenrechner verwenden. Der Taschenrechner zeigt das sowieso nicht vernünftig an, außer du erkennst da die Periode drin. Aber wenn du so weit bist, dass du eine sechsstellige Periode im Taschenrechner erkennst, dann glaube ich, brauchst du den auch nicht und kannst einfach 4/7 hinschreiben, also -4/7. Und 2/7×2=4/7+4/7×x. Und das ist jetzt unsere glückliche Ableitung. Ich hoffe, ich habe das nicht zu ausführlich gemacht und zuviel gepredigt. Manchmal ist es nötig, das zu sagen. Wann das genau der Fall ist, weiß ich nicht. Ich hoffe, es war an dieser Stelle richtig platziert. Viel Spaß mit der Ableitung, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    die Aufgabe :
    f'(x) = -(8/5)x^3+x/4-1/2

    Von Yasmine A., vor mehr als 3 Jahren