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Transkript Ableitungen – Beispiele (4)

Hallo! Hier sind 3 Ableitungsregeln, die Ableitungsregeln, die du brauchst, um ganzrationale Funktionen abzuleiten. Ich möchte eine klitzekleine Funktion zeigen, hier in der Reihe der einfachen Beispiele, es ist die Funktion: f(x)=, was habe ich mir da ausgedacht, -2x-1,5t×x. So sieht die Funktion aus bzw. der Funktionsterm. Wie ist die abzuleiten? Hier ist ein t, das hast du richtig gehört und gelesen, das nennt man Parameter, braucht man für Funktionenscharen, du kannst dich jetzt schon mal dran gewöhnen. Du brauchst keine Angst vor dem t zu haben, das ist eine ganz normale Variable. Ja, gemeint ist natürlich, dass man jetzt hier für x etwas einsetzt und dann Funktionswerte ausrechnet - und nicht für das t. Übrigens, das mit der Angst ist gar nicht so unbegründet, ja, es gibt viele Leute, die haben Angst vor Variablen. Ich glaube, das ist noch viel schlimmer, als Angst vor Spinnen zu haben oder so was. Vielleicht könnte das ein neues Forschungsgebiet der Psychologie sein, die Angst vor Variablen oder auch vor dem Distributivgesetz, übrigens, da haben viele Angst vor. Vielleicht lassen sich da noch einige Doktorarbeiten schreiben. Nur mal so ein kleiner Vorschlag von mir. Wir wollen ableiten. Und zwar stellen wir fest: Es handelt sich hier um eine Summe, der Funktionsterm ist eine Summe. Wir haben -2x, das ist der eine Summand, und -1,5×t×x ist der andere Summand. Wir dürfen hier nach der Regel 2 dann eben summandenweise ableiten. Ja, wenn der Funktionsterm sich aus 2 Summanden zusammensetzt, so soll das hier gelesen werden, und das Ganze abgeleitet wird, dann darf man den einen Summanden ableiten und den anderen Summanden ableiten und dann beide addieren. So, das werde ich jetzt machen. Ich werde den Summanden -2x ableiten und da brauche ich die Regel Nummer 1. Vor dem x hier steht ja eine konstante Zahl, k hier wie konstant, wenn also der Funktionsterm so aufgebaut ist: eine Zahl × etwas mit x, hier also das x alleine, dann darf man die Zahl einfach hinschreiben und den Restterm mit dem x ableiten. Also schreibe ich die Zahl hin, sie ist -2. Und jetzt muss ich noch x ableiten. X kann ich nach Potenzregel ableiten, wenn ich nämlich hier für n 1 einsetze, x ist ja gleich x1. Also setze ich hier für n 1 ein und erhalte: 1×x1-1. So, damit ist der erste Summand hier erledigt. Wir haben den zweiten Summanden, -1,5t×x. Und da wiederholt sich das gleiche Spielchen wie gerade eben schon. Ich wende die Regel 1 an. Der Faktor k, dieser konstante Faktor, das ist -1,5×t, das steht vor dem Ausdruck hier mit dem x und deshalb darf ich das einfach da hinschreiben, Minuszeichen nicht vergessen, also -1,5×t oder einfach -1,5t. Das kann ich schon mal hinschreiben, hier nach Regel Nummer 1, da, der konstante Faktor steht davor. Und jetzt muss ich mich noch um das x kümmern. Das x abgeleitet ist hier genauso 1×x1-1. Aufräumen muss man auch noch. Wir haben: -2×1, das bleibt gleich, x1-1=x0, x0=1, -2×1×1=-2. Ich kümmere mich um den zweiten Summanden hier, -1,5t×1×x1-1. Das wissen wir schon, das Ganze ist 1, 1×x1-1, es bleibt übrig 1,5t. So, und das ist der Term der Ableitungsfunktion. Übrigens, nebenbei bemerkt, man hätte hier oben auch direkt das Distributivgesetz anwenden können, dann hätte man ein bisschen Arbeit gespart, wollte ich nur eben mal erwähnen. Ja, da kann ich auch noch eine 1 hinschreiben, sieht schöner aus. Wir können nämlich hier das x ausklammern aus dem ganzen Zeugs, dann steht hier: (-2-1,5×t)×x. Und dann kann man auf diesen Funktionsterm einfach die Regel Nummer 1 anwenden. Das soll mal eben abgeteilt werden. Wir wissen, der Faktor hier vorne bleibt stehen. Ja, dieser Faktor bleibt stehen, da ist er wieder. Also schreiben wir einfach -2-1,5t, oder ×t, das ist ja egal. Die Ableitung von x ist 1, ×1 brauchen wir nicht dahinterschreiben. Die Klammer habe ich von vornherein weggelassen, weil ich ja wusste, was rauskommt. So hätte man das auch machen können, wäre man schneller fertig gewesen, trotzdem exakte Anwendung der Rechenregeln. Du siehst also, auch vor dem Distributivgesetz braucht man keine Angst haben. In diesem Sinne, viel Spaß. Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Sehe ich da etwa eine fehlende Kerze im Regal (die Zahlenkerzen)?

    Von Dertutor, vor mehr als 4 Jahren