Textversion des Videos

Transkript Ableitung von Summen und Vielfachen

Hallo, in diesem Video möchte ich euch etwas über Ableitungsregeln für Summen und Vielfache von Funktionen erzählen. Bei der Summe nehmen wir uns 2 Funktionen f und g, die an der Stelle x0 ableitbar sind. Dann gilt, dass die Ableitung der Summe an der Stelle x0 gleich der Summe der Ableitungen an der Stelle x0 ist. So, das klingt kompliziert, ist aber konkret ganz einfach. Unsere Funktion h(x) ist die Summe aus den Funktionen x3 und 1/x und die können wir ja schon ableiten. Die Ableitung von x3 ist 3x2 und die Ableitung von 1/x ist  -1/x2. Und die Regel sagt uns, dass wir das Plus von oben einfach mit nach unten nehmen dürfen. In der nächsten Funktion haben wir die Summen x2 und 4x und da nehmen wir wieder die Summe der einzelnen Ableitungen, also 2x+4. und als drittes Beispiel nehmen wir noch die Funktion h(x)=\sqrt(x)+5. \sqrt(x) hat die Ableitung 1/2\sqrt(x), Plus wird übernommen. 5 ist konstant, hat also die Ableitung 0, das heißt es ergibt sich 1/2×\sqrt(x). Die 5 als konstanter Summand verschwindet hier einfach. Das ist typisch. Konstante Zahlen als Summanden fallen beim Ableiten weg. Jetzt zum Vielfachen einer Funktion, dazu nehmen wir uns eine Funktion f, die an x0 ableitbar ist, und eine reelle Zahl C. Dann ist die Ableitung des C-fachen an der Stelle x0 gleich dem C-fachen der Ableitung von f an der Stelle x0. Nehmen wir die Funktion g(x)=3×x2, dann ist also das Vielfache des C die 3 und die Funktion, die wir schon ableiten können, ist das x2. In der Ableitung bleibt die 3 als Faktor stehen und x2 wird abgeleitet, also 2x, das ergibt dann 6x. Diese Funktion ist gleich noch eine Summe von zwei Vielfachen von Funktionen, nämlich die Hälfte von x2 addiert mit dem -1 fachen von x. Nach der Summenregel können wir die Summanden einzeln ableiten und das sind wiederum vielfache. Also bleibt 1/2 stehen, die Ableitung von x2 ist 2x, das Plus kommt nach unten, -1 bleibt als Faktor stehen und die Ableitung von x ist 1. Also ergibt sich als Ergebnis x-1. Diese Regel besagt also nichts anderes, als dass konstante Zahlen als Faktoren beim Ableiten genauso als Faktoren erhalten bleiben. Wir können jetzt also die Ableitung von jeder ganzrationalen Funktion bestimmen. Also z.B. 5x7-3x2-1/2x. Die 5 ist ein Faktor und bleibt stehen, x7 wird zu 7x6, das Minus wird übernommen, 3 bleibt stehen, x2 gibt 2x, Minus bleibt stehen,1/2 bleibt stehen und x wird abgeleitet zu 1. Das Ergebnis ist also 5x6-6x-1/2. Haben wir eine Summe von Vielfachen von gewissen Grundfunktionen, geht es genauso. Nehmen wir z.B. diese Funktion. 1/7 bleibt stehen, die Ableitung von \sqrt(x) kennen wir, 3÷x ist dasselbe, wie 3×1/x, also bleibt die 3 stehen und dahinter kommt die Ableitung von 1/x, 5 bleibt stehen, sin ergibt cos und 6 ist eine Konstante, fällt also weg. Dann kann man den Term noch vereinfachen. Gut, hier ist eigentlich schluss, aber für diejenigen, die es noch wissen möchten, will ich am Schluss noch den Beweis für die erste Regel zeigen, dass die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist. Im Grunde liegt das daran, dass die Ableitung ein Grenzwert ist, nämlich der Differenzialquotient. Und der GW einer Summe ist auch wieder gleich der Summe der Grenzwerte, das ist ein Grenzwertsatz. Und somit ist das dann die Summe der Ableitungen. Wir nehmen also die Funktion (f+g)(x) und schreiben für die den Differenzialquotienten auf. Jetzt muss man sich fragen, was (f+g)(x0+h) heißt. Das heißt, dass ich f(x0+h) nehme und mit g(x0+h) addiere. Genauso geht das dann bei x0. Jetzt löst man die Minusklammer auf und stellt ein bisschen um und dann sieht man schon, dass man fast am Ziel ist. Jetzt schreibt man nämlich 2 Einzelbrüche und dann ist der Grenzwert der Summe gleich der Summe der Grenzwerte und jetzt steht genau die Definition von f'(x0) und g'(x0) da. Ja, das wars.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo,

    du hast Recht. Bei 2:34 habe ich vergessen g'(x) aufzuschreiben. Danke für den Hinweis.

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Zwischendurch beim ersten Beispiel zu "Vielfachen von Funktionen" fehlt g'(x). Du machst einfach nur ein Gleichheitszeichen, was sich dann natürlich auf g(x) bezieht.

    Von R Neumann, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Versteht doch eh keiner... :( (zumind. ich nicht...)

    Oh halt.. jetzt hab ichs doch verstanden ;)

    Von Lisa^.^, vor mehr als 4 Jahren