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Transkript Ableitung – Erklärung

Hallo, was ist eine Ableitung? Wenn man mit dem Thema anfängt, ist es vielleicht ganz praktisch, wenn man mal ein paar Details beiseitelässt und sich grundsätzlich überlegt, was so eine Ableitung ist. Dazu brauchen wir eine Funktion f(x), die hat einen solchen Funktionsgraphen. Welche Funktion das genau ist, soll jetzt mal egal sein. Wir können uns einen bestimmten Punkt des Graphen hier ausgucken, zum Beispiel den und eine Tagente an diesen Graphen, in diesem Punkt zeichnen und das habe ich schon mal vorbereitet. Da ist es. Hier ist der Punkt, den wir gewählt haben, da ist die Tagente an dem Graphen in diesem Punkt. Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen in nur einem einzigen Punkt berührt. Also sie schneidet hier natürlich den Graphen auch noch mal, aber es geht hier nur um diesen Bereich und da berührt diese Gerade diesen Graphen in diesem Punkt. Diese Tangente hat eine Steigung, vielleicht erinnerst du dich noch an lineare Funktionen, da hast du das mal gemacht, da hast du mit einem Steigungsdreieck die Steigung von solchen Geraden bestimmt. Diese Strecke geteilt durch diese Strecke ist die Steigung und die Steigung dieser Tangente ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Die Ableitung ist also nichts weiter als die Steigung der Tangente. So mal grundsätzlich gesehen. Das hab ich hier auch noch mal aufgeschrieben: "Die Ableitung ist die Steigung der Tangente." Wie berechnet man die Steigung einer Tangente? Das macht man, indem man eine Ableitungsfunktion bestimmt und eine Ableitungsfunktion bestimmt man, in der Regel, mit Ableitungsregeln. Das kann man sich folgendermaßen vorstellen. Wir nehmen uns eine bestimmte Funktion f(x)=x3 zum Beispiel. Das ist hier übrigens nicht diese Funktion, die hat, wenn sie überhaupt so ist, einen anderen Funktionsterm. Wir nehmen f(x)=x3. Auf diese Funktion können wir eine Ableitungsregel anwenden. Für den Anfang gibt es 3 Regeln, das ist die Faktorregel, die Summenregel und die Potenzregel. Damit ich hier ein bisschen was rechnen kann, nehme ich die Potenzregel. Die geht so: Wir haben eine Funktion xn, grundsätzlich, wenn wir für n 3 einsetzen, haben wir die Funktion x3. Wenn man die ableitet, scheibt man das so, große Klammer rum und hier einen Strich dran. Abgeleitet ergibt xn=n×xn-1. Und das ist immer richtig, egal welche Zahl man für n einsetzt. Für unsere konkrete Funktion bedeutet das, das wir mit dieser Formel hier, mit der Potenzregel die Ableitungsfunktion bestimmen können und die schreibt man f'(x) und die Ableitungsfunktion lautet dann, ja für n haben wir 3 eingesetzt, also 3×x2. 3×x2 ist die Ableitungsfunktion dieser Funktion hier. Wenn wir die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle ausrechnen wollen, dann müssen hier ein konkretes x einsetzen. Zum Beispiel könnte man 0,7 einsetzen. Hab ich mir jetzt so ausgedacht, reine Willkür und dann können wir Steigung der Tagente an der Stelle 0,7 der Funktion f(x)=x3 ausrechnen. Die lautet dann nämlich 3×0,72=1,47.1,47 ist die Tangentensteigung und das ist die Ableitung der Funktion f(x)=x3 an der Stelle 0,7. Oft sagt man für die Ableitungsfuntktion auch einfach Ableitung, wenn man genau weiß, wovon man redet und wenn der Zusammenhang so ist, dass man sich da nicht vertun kann, dann ist das auch völlig in Ordnung. Das führt normalerweise zu keinen Problemen. Ich habe jetzt hier mal einen Teil des Funktionsgraphen für x3 ausgedruckt. Das ist x=0 und da ist x=1 und ich möchte jetzt einfach mal zeigen wie das so graphisch funktioniert. Hier ist die Stelle 0,7 und hier ist der zugehörige Funktionswert. Der Punkt des Graphen an dieser Stelle, und wenn ich jetzt hier eine Tangente zeichne, ich hoffe, dann kannst du dich daran erinnern, dass eine Tangente, die eine Steigung von ca. 1,5 hat, so aussieht und das ist dann die Ableitung der Funktion f(x)=x3 an dieser Stelle, an dieser Stelle, an der Stelle 0,7. Ja, das wars dazu als einfach Version der Ableitung. Viel Spaß damit, tschüss.

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4 Kommentare
  1. 394184 473949169302497 255051534 n

    Wie immer super erklärt! :)

    Von Aylin Ferati, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Hallo, Find ich auch sehr gut erklärt.
    Aber ich habe mir wahrscheinlich etwas falsches im Unterricht aufgeschnappt. Du schreibst hier "Die Ableitung ist die Steigung der Tangente". Bezieht das sich nur auf die erste Ableitung also f'(x)=3x^2 oder auch auf die zweite Ableitung "f''(x)=6x" und die dritte Ableitung "f'''(x)=6"?

    Von Rimas, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Hallo Ganz phantastisch. Bin begeistert wie einfach und klar das erklärt wird. Das schaffe sogar ich mit meinen 57 Jahre. Gratulation

    Von Helmuth, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Danke. Mit nicht zu vielen Worten sehr viel gesagt. So und nicht anders !!

    Von Mischl, vor etwa 6 Jahren