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Transkript Ableitung der Potenzfunktion - Beweis durch vollständige Induktion

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, hallo liebe Mathematikinteressierte. Hier ist André mit einem Video unter dem Titel: Die Ableitung der Potenzfunktion mit vollständiger Induktion beweisen. Ihr kennt sie sicher die Formel, sehr gut. Manchmal bekommt man sie im Mathematikunterricht nur lieblos hingeknallt. (xn)= n×xn-1. Für n, Element der natürlichen Zahlen außer 0. n=0 könnte man auch mit aufnehmen. Die Ableitung für diesen Fall wäre: Ableitung von 1 = 0. Nun ein paar Worte zur vollständigen Induktion. Ich hab mich mal bei Sofatutor umgeschaut und zum heutigen Tag, es ist der 5.Mai 2010, sind 8-10 Videos zu diesem Thema enthalten. Ich kann euch nur empfehlen, sie euch anzuschauen. Dennoch möchte ich das Wesen der vollständigen Induktion noch einmal in Erinnerung rufen. Die vollständige Induktion wird immer dann verwendet, wenn bestimmte Vermutungen für natürliche Zahlen, bewiesen werden sollen. Die Stichhaltigkeit der vollständigen Induktion wird durch ein Axiom fundiert, zurückgehend auf Peano. Einfach gesprochen bedeutet das: wir haben für 1 bestimmte natürliche Zahl den Beweis erbracht und können zeigen, dass wir für eine beliebige natürliche Zahl, die größer/gleich (?) dieser Zahl ist, den Beweis für den Nachfolger führen können. Somit gilt die Behauptung für alle natürlichen Zahlen ? der kleinsten genannten Zahl. Also mit mathematischem Formalismus: 1. Es wird der Beweis erbracht für 0,1,2, oder so weiter, eben diese kleinste natürliche Zahl. 2. Unter der Annahme, dass die Behauptung für die natürliche Zahl k richtig ist, wird der Beweis für ihren Nachfolger, die natürliche Zahl, k+1 geführt. Nach dem Axiom der vollständigen Induktion gilt dann, dass die Aussage für alle Zahlen Element N, die größer/gleich dem Startwert sind, richtig ist. Und nun zum Ablauf der vollständigen Induktion. In unserem Fall wäre die erste Zahl, für die der Beweis zu erbringen ist, n=1. Das Verfahren angewendet auf diesen Wert, bezeichnet man auch als Induktionsanfang. Ich nehme mir nun einfach die Formel zur Ableitung der Potenzfunktion vor und setze für n=1. (x1)'= 1×x1-1, ergibt x0, was = 1 ist. Und das stimmt, den x1=x. Und betrachten wir einmal die Steigung von y=x, so beträgt sie 1. Und das wäre die 1. Ableitung. Komplizierter gestaltet sich mitunter der Induktionsschritt, wenn wir von k auf (k+1) schließen. Zunächst notieren wir die Induktionsvoraussetzung, indem wir n=k setzen. Die Induktionsbehauptung ergibt sich für n=k+1. Der Induktionsbeweis wird geführt, indem man von der Induktionsvoraussetzung auf die Induktionsbehauptung schließt. Wir führen den Induktionsbeweis: aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich die Induktionsbehauptung. Äquivalent dazu ist die Aussage. Wir schließen von k auf k+1. Zur Verfahrensweise: ich werde von links nach rechts logisch schließen und dann zur nächsten Zeile übergehen. Seid bitte aufmerksam. Zunächst notieren wir die Induktionsvoraussetzung ((xk)'= k×xk-1). Wir multiplizieren beide Seiten mit x. Es ergibt sich: (xk)'× x = k×xk-1×x. In der 2. Beweiszeile wenden wir nun das Potenzgesetz für das Zusammenfassen von Potenzen mit gleicher Basis an. Wie erhalten somit in der 3. Zeile: (xk)×x = k×xk. Nun addieren wir zu beiden Seiten der Gleichung xk: (xk)×x+ xk = k×xk + xk. Wir klammern xk auf der rechten Seite der Gleichung aus und erhalten in der 4. Beweiszeile: (xk)×x+ xk = (k+1)×xk. Jetzt verwenden wir einen Trick, und zwar: auf der linken Seite der Gleichung bleibt stehen: (xk)'×x+ xk × (x)' = (k+1)×xk. Schauen wir uns nun die Gleichung in der 4. Beweiszeile rechts an. Ich habe die einzelnen Teilterme mit dunkelroter Farbe gekennzeichnet. Als u', v, u und v'. Und ihr erkennt, dass man hier die Produktregel für die Ableitung von Funktionen anwenden kann. Denn u'×v + u × v' = (u×v)'. Daher können wir für die linke Seite schreiben - wir sind jetzt in der 5. Beweiszeile: (xk × x1)' = (k+1)×xk. Noch eine Kleinigkeit gibt es zu tun für die Gleichung in der 5. Beweiszeile, links unten. Nach dem Potenzgesetz gilt: xk×x1 = (xk+1). Wir können also schreiben: (xk+1)'= (k+1)×xk. Der Induktionsbeweis wurde geführt. Das bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen n, außer 0, das Gesetz für die Ableitung der Potenzfunktion richtig ist. Das wars auch schon wieder für heute. Vielleicht hattet ihr etwas Spaß und habt ein wenig gelernt. Ich wünsche euch alles Gute. Bis zum nächsten Mal, tschüs.

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2 Kommentare
  1. 001

    Hallo Techmate,

    die Ableitung (Steigung) der Funktion f(x) = x ist bekanntlich 1, also (x)´ = 1. Wenn ich einen Term mit 1 multipliziere, bleibt er unverändert. Darin bestand ja gerade der Trick dieses Umformungsschrittes. Multiplikation mit einer 1 oder Addition einer 0 in jeweils einem seltsamen Gewand sind in der mathematischen Beweisführung mitunter praktizierte effektive Maßnahmen.

    Gruß

    André

    P. S.: Entschuldige die Verzögerung. Ich war im Kurzurlaub ohne Internet - Zugang.

    Von André Otto, vor fast 6 Jahren
  2. Default

    Hallo,

    ich hätte eine Frage: und zwar warum kann man als letzten Schritt im Induktionsbeweis einfach nur auf einer Seite mit (x)´ multiplizieren damit der term zur Produktregel passt und nicht auf beiden Seiten.

    mfg

    Von Techmate, vor fast 6 Jahren