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Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Leistungskurs – Aufgabe 3

Hallo wir kommen zum fünften Teil dieser Abituraufgabe Vektorrechnung für Leistungskurs Nordrhein-Westfalen. Wir haben einen Punkt D gegeben, der das Dreieck ABC zu einem regelmäßigen Tetraeder ergänzt.Wir sollen jetzt den Abstand des Punktes D zur Ebene ABC bestimmen und wir sollen das Volumen des Tetraeders bestimmen. Ich habe im letzten Film schon mit etwas tricky- Lösung hier angefangen, ich möchte da weitermachen. Diese Aufgabe ist genau so auch im Grundkurs gestellt worden, wenn du die klassische Version lieber ist, dann kannst du auch danach gucken.Da habe ich so eher nach Lehrplan gemacht. Um den Abstand von D zur Ebene ABC zu bestimmen, können wir uns überlegen, dass dieser Abstand die Höhe im Tetraeder ist.Wir wissen die Höhe im Tetraeder \sqrt2/3.Kantenlänge ist und die Kantenlänge ist ja bei uns 12 \sqrt2. Das können wir einfach ausrechnen. \sqrt2.\sqrt2 ist 2. 12 x 2 = 24/\sqrt3. Nun können wir uns überlegen 24 = 8x3 /\sqrt3 und 3 = 8x\sqrt3x\sqrt3/x\sqrt3. Das heißt, wir können hier einmal das Wurzel kürzen und kommen dann auf 8\sqrt3 und manche möchte hier noch die Längeneinheit stehen haben also 8\sqrt3[LE]. Damit sind wir hier fertig. Jetzt müssen wir das Volumen dieser Pyramide bestimmen, dieses Tetraeder. Tetraeder sind Pyramide.Volumenformel in der Pyramide ist V= 1/3 x Ag x h und das wissen alle schon. Wir müssen nur noch zusammenschreiben. Die Grundfläche können wir als Erstes bestimmen. Grundfläche ist jetzt das Dreieck. Flächenformel im Dreieck ist A = 1/2g x h. Grundseite ist \sqrt288. Das hatten wir mal als Zwischenergebnis in der ersten Aufgabe, darf man hier ruhig verwenden. Es ist praktischer als 12x\sqrt2 zu schreiben und diesen Zusammenhang sehen wir gleich. g x h im gleichseitigen Dreieck, wissen wir auch schon, wenn wir hier ein gleichseitiges Dreieck haben,dann ist hier die Höhe, da ist a/2 und haben wir ein rechtwinkliges Dreieck und können den Satz des Pythagoras anwenden und kommen dann auf \sqrt3/2 x a. Also können wir hier schreiben: /sqrt /2 x a. A ist hier die Kantenlänge Also (\sqrt288)2 .(\sqrt3))/2 dann kann ich das hier Quadrieren und müssen wir nur noch durch 2 teilen um die Fläche im Dreieck zu haben (\sqrt288)2).(\sqrt3.))/2 . 2. Jetzt lautet die Formel für das Volumen der Pyramide V = 1/3 Ag x h. Also ((\sqrt288)2) x(\sqrt3.)8\sqrt3))/3.2 . 2. Da brauchst du nicht zum Taschenrechner zu greifen. Das geht alles so. Wir haben \sqrt3 x  \sqrt3 das können wir mit 3 kürzen. Wir haben 2x2= 4 und 8. Da kommen 2 raus.Wir wissen das \sqrt2882 = 288 ist. und naja 2x288 = 576[VE]. Und damit ist die Sache auch schon erledigt, wir sind fertig. Viel Spass damit! Tschüss!

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