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Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Leistungskurs – Aufgabe 2

Hallo. Kommen wir zur 3. Teilaufgabe dieser Vektorrechnung Abituraufgabe für den Leistungskurs. Es ist jetzt noch ein Punkt zusätzlich gegeben, und zwar der Schwerpunkt des Dreiecks ABC und der heißt sinnigerweise S. Wir sollen in dieser 3. Aufgabe zeigen, dass die Gerade durch P und Q die Ebene ABC, in der das Dreieck ABC liegt, in S senkrecht schneidet. Anders gesagt: Wir müssen zeigen, die Gerade g durch PQ ist senkrecht zur Ebene ABC und wir müssen zeigen, dass der Punkt S ein Element der Gerade gPQ ist oder auch, dass S auf dieser Geraden liegt. Ich möchte hier nur kurz zeigen, wie das geht. Ich habe es ausführlicher in der Grundkursaufgabe gemacht. Im Grundkurs ist genau die gleiche Aufgabe gestellt worden, deshalb kann ich mich hier kurzfassen. Wenn dir das zu schnell geht, kannst du auch da nachgucken. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir eine Gerade gPQ bilden. Wir nehmen den Ortsvektor zum Punkt P als Stützvektor und den Vektor PQ^-> als Richtungsvektor. Den erhalten wir, indem wir Q-P rechnen und dabei kommt dann (-5 -5 -5) raus. Und da mir diese Zahlen nicht gefallen, möchte ich andere Zahlen einsetzen. Das kann man ja machen bei den Normalenvektoren. Kein Problem. Wir brauchen nur jetzt einen Vektor, der entweder die gleiche oder die entgegengesetzte Richtung hat und ich möchte jetzt also dann (1 1 1) nehmen, das ist genauso gut. Kein Problem. Der Vektor (1 1 1) kommt uns ja schon bekannt vor. Wir haben ja schon einen Normalenvektor zur Dreiecksebene ABC gebildet, als wir die Ebene in Normalform gebildet haben, in Koordinatenform. Da kam ja dieser Vektor auch schon vor, das heißt, wir sind also jetzt mit der Geschichte hier, die Gerade ist senkrecht zur Ebene, fertig. Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass der Punkt S auf dieser Geraden liegt und da nehmen wir einfach die Koordinaten von S, (1 0 2), und das soll gleich sein zu Stützvektor +t×Richtungsvektor. Wenn wir ein geeignetes t finden, sodass diese Gleichung richtig ist, dann sind wir fertig, und ich glaube, man sieht leicht t=-2, denn 3-2=1, 2-2=0 und 4-2=2. Damit ist diese Aufgabe erledigt. So, kommen wir gleich zur Nächsten, und zwar der Aufgabe 4. Auch da habe ich schon mal was vorbereitet. In Aufgabe 4 sollen wir die beiden Punkte bestimmen, die das Dreieck ABC zu einem regelmäßigen Tetraeder ergänzen. Wenn das Dreieck hier so liegt, dann kann man ein mal hier den Punkt dransetzen oder da noch einen Punkt dransetzen. Dann haben wir hier ein regelmäßiges Tetraeder und da auch. Die Aufgabe ist auch so im Grundkurs schon gestellt werden. Ich möchte hier eine andere Version zeigen, eine etwas trickreichere zeigen. Für den Leistungskurs ist das glaube ich ganz gut. Wenn du die andere Version für den Grundkurs auch sehen möchtest, kannst du dann in dem Grundkursfilm nachsehen. Also, wie geht man da ran? Wir wissen schon, wo der Schwerpunkt dieses Dreiecks liegt und wenn du dich daran erinnerst, was du über Tetraeder gelernt hast, dann weißt du auch, dass der Höhenfußpunkt von dieser Ecke auf diese Seite hier, der Höhenfußpunkt, der Schwerpunkt dieses Dreiecks ist. Du hast irgendwann auch mal nachgewiesen, wie die Höhe in einem solchen Tetraeder von dieser Kantenlänge abhängt. Die Kantenlänge ist ja im regelmäßigen Tetraeder überall gleich. Und da hast du mal gelernt oder nachgewiesen oder was auch immer, dass die Höhe gleich \sqrt(2/3)×Kantenlänge a ist, und das kann man hier verwenden. Wenn du das nicht mehr auf dem Schirm hast, kannst du dir kurz überlegen, wenn wir jetzt hier ein gleichseitiges Dreieck haben und hier einen Tetraeder daraus machen möchten, dann haben wir hier oben einen Punkt, der das Ganze hier zu einem Tetraeder macht. Wenn wir da jetzt das Lot auf diese Seite fällen, dann kommen wir zu dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und die teilen sich im Verhältnis 2:1. Also, das ist hier 2/3 der Höhe in diesem Dreieck. Du kannst mit dem Satz des Pythagoras die Höhe in diesem Dreieck ausrechnen, indem du einfach berücksichtigst, dass ja das hier die Kantenlänge ist. Das ist die halbe Kantenlänge. Dann kommt da raus: \sqrt3/(2×Kantenlänge) ist die Höhe. Wenn du jetzt hier 2/3 dieser Höhe nimmst und dir diesen Punkt hier vorstellst als Punkt im Tetraeder, dann kriegst du hier auch mit dieser Kante ein rechtwinkliges Dreieck und kannst dann wieder den Satz des Pythagoras anwenden und dann diese Höhe in Abhängigkeit von der Kantenlänge darstellen. Was bringt uns das, wenn wir jetzt wissen: Höhe im Tetraeder ist \sqrt(2/3)×Kantenlänge? Dann können wir einfach den Schwerpunkt des Dreiecks nehmen und in Richtung des Normalenvektors, den wir ja gerade schon gesehen haben, (1 1 1), in Richtung dieses Normalenvektors einen Vektor dransetzen, der diese Länge hat. Ein mal in diese Richtung, ein mal in diese Richtung - da kommen wir nicht zu dem Punkt, dann ist das ein bisschen weiter - und dann haben wir die beiden Punkte. Jetzt löst sich das ganze Ding hier auf. Also, wie macht man das? Wir nehmen unseren Schwerpunkt S. Der hat die Koordinaten (1 0 2)+ hier kommt eine Zahl hin × Richtungsvektor (1 1 1). Der Vektor, den wir hier jetzt dransetzen, muss diese Länge haben. Um das zu bewerkstelligen, wäre es gut, wenn der Vektor erst mal die Länge 1 hat. Dann müssen wir nämlich nur diese Zahl noch hier hinsetzen und dann passt das. Wie kriegen wir den Vektor hier auf Länge 1? Der hat ja jetzt die Länge \sqrt3. Da müssen wir also mit 1/\sqrt3 multliplizieren. So, dann hat der schon mal die Länge 1. Und dann müssen wir diesen Vektor der Länge 1 multiplizieren mit dieser Zahl. Also mit \sqrt(2/3)×Kantenlänge. Wie lang die Kanten sind, hatten wir ja glaube ich schon in der ersten Aufgabe. Auf jeden Fall wissen wir das schon. Das ist 12×\sqrt2. Auch das kann man sehr gerne im Kopf ausrechnen, denn \sqrt2×\sqrt2=2, \sqrt3×\sqrt3=3 und 12×2/3, das geht im Kopf. Das ist 8×(1 1 1) und natürlich kommt hier noch der Vektor zum Punkt S hin. Dann kriegen wir hier ein mal die Koordinaten, die wir haben wollen. 1+8, das geht auch im Kopf, das ist 9, 8, und als 3. Koordinate haben wir 10. Das ist dann der Punkt hier und dann müssen wir das Ganze noch in der anderen Richtung machen: (1 0 2)+8×(-1 -1 -1). Kein Problem. 1-8=-7, 0+(-8)=-8 und 2-8=-6, und wenn ich das noch mal mit den Ergebnissen aus der vorigen Aufgabe vergleiche, stelle ich fest, dass ich richtig gerechnet habe. Das freut mich und damit ist hier die Aufgabe erledigt. Wir haben die beiden Punkte gefunden. Wunderbar. Viel Spaß damit. Tschüss.

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