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Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Leistungskurs – Aufgabe 1

Hallo, wir machen eine Abituraufgabe Vektorrechnung für den Leistungskurs Nordrheinwestfalen. Zu bearbeiten mit einem solchen wissenschaftlichen Taschenrechner, den man hier aber natürlich nicht braucht. Wir haben gegeben einen Würfel und in dem Würfel ist ein Dreieck und wir haben ein paar Koordinaten gegeben. P und Q gehören nicht zu dem Würfel, die spielen später noch eine Rolle. Und die erste Aufgabe ist nun, zu zeigen, dass das Dreieck ABC ein gleichseitiges Dreieck ist. Die Aufgabe habe ich schon im Grundkurs gemacht. Da habe ich die etwas ausführlicher behandelt. Hier möchte ich nur ganz kurz zeigen, wie es geht, im Leistungskurs sollte das ja kein Problem sein. Das ist eine Aufgabe zum Warmwerden. Um zu zeigen, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist, müssen wir zum Beispiel die Seite [AB] bestimmen, das macht man, indem man die Koordinaten des Punktes B minus die Koordinaten des Punktes A rechnet, dann kommt dieser Vektor heraus, und davon müssen wir den Betrag bilden, also die Länge des Vektors bestimmen. Das ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Das kommt raus, \sqrt288 oder eben 12×\sqrt2 und Längeneinheiten muss man manchmal noch dazu schreiben, manche wollen das unbedingt haben, manchen ist es egal, also hier stehen sie, bitte schön. Und wenn du das jetzt für die Vektoren, nicht nur für A und B, sondern zum Beispiel [AC] machst und für [CB], dann wirst du feststellen, dass da jedes Mal 12×\sqrt2 rauskommt. Und damit ist diese Aufgabe hier erledigt. Kommen wir gleich zur nächsten. Wir sollen eine Ebene in Normalenform definieren, in der sich die Punkte A, B und C befinden. Auch das ist ein Standardverfahren, du hast 3 Punkte gegeben und sollst daraus eine Ebene erstellen. Weil in Nordrheinwestfalen und vielleicht auch in den sonstigen Bundesländern, weiß ich jetzt im Moment nicht genau, nicht ganz klar ist, was eine Normalenform ist, möchte ich hier kurz noch mal den Zusammenhang hier zeigen. Hast du wahrscheinlich schon gemacht, nur hier noch einmal zur Erinnerung. Ich komme deshalb darauf, dass nicht ganz klar ist, was eine Normalenform ist, weil in der Musterlösung einmal dieselbe Gleichung als Normalenform und einmal als Koordinatenform bezeichnet wird, ist aber egal. Der Zusammenhang ist relativ simpel. Das hier, das ist normalerweise eine Normalenform. Wir haben einen Normalenvektor, dann kommt das Skalarprodukt, und hier haben wir, das P ist ein Punkt der Ebene, kann man so sagen, oder eben ein Ortsvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. Und dann haben wir hier die Vektoren x. Jeder Vektor x, der diese Gleichung erfüllt, gehört zu einem Punkt einer bestimmten Ebene, beziehungsweise, alle Vektoren x, die diese Gleichung erfüllt gehört zu einem Punk, einer bestimmten Ebene beziehungsweise alle Vektoren die diese Gleichung x erfüllen definieren eine Ebene. Das ist also meistens die Normalform. Wir können aber hier das Distributivgesetz verwenden und das dann ausmultiplizieren. Dann steht das da, und wenn wir das da auf die andere Seite bringen noch, haben wir diese Form, die wird dann auch schon mal als Normalenform bezeichnet. Wenn wir jetzt dieses Skalarprodukt hier koordinatenweise hinschreiben, oder einfach die Definition des Skalarproduktes hinschreiben und dann auch das hier noch ausrechnen. Wenn wir eine konkrete Ebene gegeben haben, dann ist ja n bekannt und p ist auch bekannt. Wenn wir hier das Skalarprodukt ausrechnen, kommt ein Skalar heraus, also eine Zahl und die wird normalerweise als d bezeichnet. Und das wird dann auch schon mal als Normalenform bezeichnet, meistens aber als Koordinatenform. Und das ist dieser Zusammenhang zwischen Normalenform und Koordinatenform. Wenn du eine Abituraufgabe bekommst, in der du zum Beispiel eine Normalenform bestimmen sollst oder eine Koordinatenform, dann mache bitte das, was du vorher im Unterricht gemacht hast. Das, was dort als Normalenform, beziehungsweise als Koordinatenform bezeichnet wurde, das schreibst du dann auch so hin, dann kann nichts schiefgehen. In der konkreten Aufgabe ist auch noch das hier gegeben als Kontrolllösung, das ist dann wohl die Koordinatenform. Da können wir anfangen zu rechnen. Was müssen wir machen? Wenn wir 3 Punkte gegeben haben, und sollen eine Koordinatenform oder eine Normalenform daraus machen, also eine Ebene in Koordinaten- oder Normalenform, die durch diese 3 Punkte geht oder auf der diese 3 Punkte liegen, dann ist es immer praktisch, man macht erst die Parameterform. Man kann natürlich drum herum rechnen um die Parameterform, aber das ist eigentlich mehr Aufwand, als die Parameterform hinzuschreiben, und wer weiß, wozu man die noch braucht. Also bitte, dann habe ich sie hierhin geschrieben. Wir können zum Beispiel den Ortsvektor zum Punkt A als Stützvektor nehmen, dann nehmen wir den Vektor [AB], den haben wir ja gerade sowieso schon ausgerechnet, also hier steht es nicht, auf dem anderen Ding steht es, als wir gezeigt haben, dass das Dreieck gleichzeitig ist. Dann haben wir das auch schon erledigt und den anderen Vektor [AC], den haben wir, wenn man jetzt die vorherige Aufgabe richtig gelöst hat. Den haben wir auch schon da stehen, also muss man den nur noch hinschreiben. Ansonsten muss man natürlich die Koordinaten von C minus die von A rechnen, und dann steht das da. So, und im Grundkursfilm zu derselben Aufgabe habe ich gezeigt, wie das mit einem Gleichungssystem geht, dass man jetzt auf den Normalenvektor kommt, oder auf einen der Normalenvektoren, die wir hier brauchen. Hier möchte ich das mit Kreuzprodukt machen. Meistens, wenn du im Leistungskurs bist, hast du ja das Kreuzprodukt gemacht. Dann geht das also ganz geradeaus, man muss es ja nur aufschreiben, und dann hat man hier einen Normalenvektor. Ich würde als Normalenvektor aber hier (1; 1; 1) vorschlagen, weil mir diese Zahlen hier zu groß sind, und der Vektor (1; 1; 1) hat ja dieselbe Richtung wie der hier. Und das reicht dann völlig als Normalenvektor. So, und jetzt brauchen wir ja für die Normalenform einen Punkt der Ebene, da nehmen wir den hier und als Normalenvektor nehmen wir den, und da muss man das nur noch hinschreiben. Und auch das habe ich schon einmal heimlich vorbereitet hier. (1; 1; 1) ist der Normalenvektor, das sind die Koordinaten des Punktes A, hinschreiben. Wir können das noch umformen, und zwar so, wie ich das hier allgemein gezeigt habe. Dann bekommen wir hier das Skalarprodukt von n und p, also von dem und dem Vektor. Das Ergebnis des Skalarproduktes ist 3. Und wenn man das jetzt hier noch koordinatenweise hinschreibt, beziehungsweise einfach die Definition des Skalarproduktes anwendet, dann steht das da. Irgendeins davon wird schon die Normalenform sein. Es war auch keine Arbeit, das jetzt hier weiter umzuformen. Dann ist die Aufgabe damit auf jeden Fall gelöst. Viel Spaß damit und tschüss.

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