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Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Grundkurs – Aufgabe 3

Hallo! Wir machen den dritten Teil dieser Abituraufgabe "Vektorrechnung - Grundkurs Nordrhein-Westfalen", zu bearbeiten mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner und wir haben schon eine Ebene gebastelt in den vorherigen Aufgaben, die Ebene in der sich A, B und C befinden, also diese Punkte A, B und C. Jetzt ist hier noch ein Punkt hinzugekommen, nämlich S. S ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, hier ist A, da ist B, da ist C. Ich drehe es ein Mal, damit man das vielleicht später noch mal sehen kann. Wir sollen jetzt in dieser dritten Aufgabe zeigen, dass die Gerade, die durch P und Q geht, die Ebene, in der sich A, B und C befinden, in S senkrecht schneidet. Um das noch mal aufzudröseln: 1. Wir brauchen eine Gerade durch P und Q 2. Wir sollen zeigen, dass sie die Ebene schneidet 3. Wir sollen zeigen, dass das im Punkt S der Fall ist, und 4. Dass die Gerade g die Ebene E senkrecht schneidet. Senkrecht heißt natürlich nicht wie im Kreuzworträtsel waagerecht und senkrecht, sondern senkrecht heißt in der Vektorrechnung immer rechtwinklig zueinander, deshalb dieses Zeichen. So ich hab das was wir rechnen sollen hier noch mal kurz in Symbolen zusammengefasst, wenn man die Ebene E hier als Punktmenge sieht und die Gerade auch, dann kann man die Schnittmenge bilden. Die Schnittmenge soll S sein, d. h. die Gerade g schneidet die Ebene im Punkt S und wir sollen auch noch zeigen, dass dies rechtwinklig passiert, also, dass die Gerade g rechtwinklig zur Ebene ist, das steht hier. Gut, wie geht man da ran? Wir müssen jetzt als erstes Mal eine Gerade basteln, die durch P und Q geht, also die Gerade pq besteht aus allen Vektoren x, die folgende Darstellung haben. Wir brauchen einen Stützvektor, was nehmen wir da, warum nicht P(3|2|4). Und wir brauchen einen Richtungsvektor, hier erst mal ein Parameter. Ich glaube wir haben r und s schon verbraucht und ich glaube t auch, ist auch nicht so wichtig. Ich nehme jetzt einen neuen Buchstaben, ist ganz hilfreich, muss man nicht unbedingt machen, aber ich machs jetzt. So: Wir brauchen einen Richtungsvektor, die Differenz bzw. den Differenzvektor dieser beiden Punkte oder einen der beiden Differenzvektoren der beiden Punkte. Ich rechne mal P-Q: (3+2|2+3|4+1)=(5|5|5). Wer hätte das gedacht und da sollte es bei dir klingeln, denn den Vektor, den kennst du ja schon. Wir haben ja hier, als wir die Ebene gebastelt haben, den Normalenvektor gehabt oder einen Normalenvektor haben wir gehabt und wir hatten den Normalenvektor (1|1|1). Den könnten wir ja hier auch nehmen, den Normalenvektor (1|1|1), warum denn nicht? Der hat ja die gleiche Richtung wie (5|5|5). Ja, das muss man jetzt nicht machen was ich hier mache, aber ich glaube das hilft eine ganze Menge. Wenn das jetzt hier schon unser bekannter Normalenvektor ist, dann wissen wir auch schon, dass die Gerade g rechtwinklig zur Ebene E ist und dann schneiden die sich natürlich auch, d.h. diese Sache ist jetzt schon erledigt. Dann müssen wir noch zeigen, dass der Schnittpunkt S ist. Ja und jetzt kann man natürlich das abfahren, was man normalerweise standardmäßig hier machen würde. Ich möchte das später zeigen und erst noch eine kleine Tricky-Lösung zeigen. Wenn man hier nämlich mit ein bisschen Übersicht vorgeht, stellt man ja fest, wir wissen schon von S, dass S in der Ebene ist - in dieser Ebene. Sonst wäre S ja nicht Schwerpunkt des Dreiecks. Wir müssen jetzt also nur noch zeigen, wenn wir also sowieso schon wissen, dass die beiden sich schneiden, dass S Element von dieser Geraden ist. Wenn S ein Punkt dieser Gerade ist, ein Element dieser Geraden, dann ist S ein Punkt, der in E und in g vorkommt und weil es nur einen einzigen Schnittpunkt von Gerade und Ebene gibt, ist das also der gesuchte Punkt. Was muss man da machen? Wir suchen also ein u, für das gilt: Wenn wir es in die Gerade hier einsetzen, dann kommt dieser Vektor S heraus und wir müssen uns nur noch überlegen, welches u das sein kann und das kann man sich ganz elementar hier vorstellen. Ich weiß gar nicht mehr, wie man dann die Rechnung noch vernünftig aufschreiben kann, weil es ja eigentlich dann da steht. Nehmen wir mal die zweite Koordinate: Wir müssen rechnen 0=2+u×1. Wie groß muss dann u sein, damit das Ganze hier 0 ergibt - diese 0 hier? U muss dann -2 sein und dann können wir es kurz nachprüfen, ob das für die anderen Koordinaten auch stimmt. 1=3-2, das ist richtig. 2=4-2, das ist auch richtig. Damit ist also unser u gefunden und damit auch gezeigt, dass der Schnittpunkt von Ebene und Gerade der Schwerpunkt des Dreiecks, also S ist. Wenn du da jetzt nicht drauf kommst, kannst du natürlich dein Standardverfahren abspulen. Das ist oft so bei Abituraufgaben, zumindest dann, wenn sie vernünftig gestellt sind, dass man die Möglichkeit hat, eine wenig rechenintensive Lösung zu zeigen oder eben ein bisschen mehr zu rechnen. Das mehr Rechnen ist meist mit einem Standardverfahren verbunden, was du dann einfach abspulen kannst. Wir hatten schon, dass das hier, eine Koordinatenform dieser Ebene ABC ist. Wir können jetzt die Koordinaten der Gerade hier einsetzen, mit dem u zusammen, und dann ein u so bestimmen, dass diese Gleichung erfüllt ist und dann würde, wenn wir dieses u hier wieder einsetzen, ein Punkt herauskommen, der dann der Schnittpunkt ist. Konkret heißt das: Für die erste Koordinate setzen wir 3+u ein, für die zweite Koordinate setzen wir 2+u ein. Ja und hier macht sich das bezahlt, dass ich dann (1|1|1) genommen habe, sonst hätte ich jeweils noch mit 5 multiplizieren müssen, hätte man auch schaffen können, aber wenn man sich das einfach machen kann, dann macht man das auch. So, dritte Koordinate: 4+u einsetzen und das Ganze soll dann gleich 3 sein. Wir haben hier 3u, wir haben 3+2+4, das ist 9+3u=3. Da müssen wir -9 rechnen auf beiden Seiten und dann durch 3 teilen und dann haben wir u=-2. Gut, dann müsste man -2 noch hier einsetzen für dieses u und dann gucken, was rauskommt. Wir wissen es schon, wenn man -2 einsetzt, kommt der Punkt S raus und damit sind wir hier fertig, alles gezeigt, wunderbar. Viel Spaß damit. Tschüss!

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