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Transkript Abituraufgabe Matrizen Leistungskurs – Aufgabe 2 (2)

Hallo! Es geht weiter mit dieser Aufgabe für den Leistungskurs zum Thema Matrizen, mit Computeralgebrasystem zu bearbeiten, für Nordrhein-Westfalen. Wir haben eine Menge von Schweinen gegeben, die sich in verschiedenen Zuständen befinden, das ist die Übergangsmatrix dazu. Wir sollen jetzt zeigen, dass es keinen Fixvektor gibt. Das kann auch anders formuliert sein, da steht dann vielleicht: "Zeigen Sie, dass es keine Verteilung der Schweine gibt, die sich im nächsten Jahr wiederholt." Was macht man da? Das kannst du dann mit dem Taschenrechner machen, du nimmst diese Matrix, tippst die ein und schreibst ×xyz=xyz. Dann ist das nämlich die Verteilung, die sich wiederholt. Und da zeigt der Taschenrechner dann 000 an und das bedeutet, dass nur der Nullvektor eine stabile Verteilung ist, aber nach dem war natürlich nicht gefragt, denn man sucht ja eine Verteilung mit positiven Zahlen, mit positiven Anzahlen von Schweinen, und damit ist dann gezeigt, dass dieser Fixvektor nicht existiert oder diese Verteilung, die sich wiederholt, nicht existiert. Dann geht es weiter mit einer interessanten Frage: Wie hoch ist der Anteil der einjährigen Schweine, die zusätzlich verkauft werden müssen, damit eine stabile Verteilung existieren kann? Und dann soll noch eine stabile Verteilung genannt werden. Wir erinnern uns: Ferkel sind im Zustand A, einjährige Schweine sind die, die im Zustand B sind. C sind die Schweine, die älter als ein Jahr sind. Und jetzt soll also der Anteil der einjährigen Schweine, die dann zu älteren Schweinen werden, verändert werden. Also, diese Zahl soll so verändert werden, hier der Übergang von B zu C, sodass eine stabile Verteilung möglich ist. Hier ist jetzt zwar danach gefragt, wie viele zusätzlich verkauft werden müssen. Aber rein formal sieht das dann erst mal so aus, dass wir die Matrix, wie sie da ist, quasi noch mal hinschreiben, aber hier eine Variable hinschreiben, nämlich ein a. Wir wollen zunächst einmal wissen, wie muss man diesen Anteil hier verändern, was muss man für a einsetzen, damit eine stabile Verteilung möglich ist, also so, wie sie hier steht. Wir denken uns eine Verteilung, die soll sich im nächsten Jahr wiederholen. Das ist quasi formal das, was in der Frage steht. Wie geht man da jetzt vor? Auf dieses Gleichungssystem komme ich gleich, ich möchte erst mal das hier zeigen. Natürlich kannst du das wieder in deinen Taschenrechner eintippen, wird aber im Moment, glaube ich, nicht ganz so viel bringen, denn wenn du das eintippst und dann so umformst, dass auf der rechten Seite nur Nullen stehen, kommt das hier heraus. Die Frage ist, was machst du jetzt damit? 2 Möglichkeiten möchte ich hier zeigen. Also, zunächst einmal ist klar, hier muss man jetzt irgendeine Idee haben, da kann man nicht einfach so mit 08/15-Methode weitermachen. Was du 1. machen könntest, ist, du setzt einfach einmal etwas für x ein. Wenn du etwas für x einsetzt, siehst du gleich, kannst du das z bestimmen. Du kannst auch, wenn du für x hier dieselbe Zahl wieder einsetzt, das y bestimmen. Das heißt also, wenn hier eine Zahl klar ist, sind die anderen beiden auch klar und definiert und bestimmt. Dann müsste man nur noch a so bestimmen können, dass a zu den Zahlen y und z passt, damit es überhaupt irgendeine stabile Verteilung gibt. Das war ja letzten Endes die Frage, die auch dahintersteht. Wie muss man das a verändern, damit es eine stabile Verteilung gibt? Wir stellen uns eine Verteilung vor, fangen also mit dem x an, können dann y und z auch bestimmen, setzen die hier ein und sehen dann: Was muss ich hier für a hinschreiben, damit diese Gleichung mit den Zahlen, die ich hier eingesetzt habe, richtig ist? Da käme man dann schon auf die richtigen Zahlen, da müsste man nur noch überlegen, sind das jetzt alle Verteilungen oder sind das sinnvolle Zahlen und so weiter, möchte ich jetzt einmal hinten anstellen, da kommen wir gleich dazu. Ich möchte noch eine Möglichkeit zeigen, wie man hier weitermachen kann. Und zwar könnte man dieses Gleichungssystem so umformen, dass man eine Gleichung bekommt, in der auch y und z vorkommen. Dann könnte man nämlich direkt schon etwas sehen. Ist auch eine gute Taktik, eine gute Möglichkeit, die du dir vielleicht merken solltest für die zukünftigen Aufgaben. Man könnte also diese Zeile hier mit 2/3 multiplizieren und dann zur 2. Zeile hinzuaddieren und das soll das unsere neue 2. Zeile sein. Und die sieht dann so aus, jetzt haben wir hier y und z und da auch y und z. Um das noch deutlicher zu machen, habe ich hier noch mal umgeformt, diese zweite Zeile. Und jetzt sehen wir, dass diese beiden Zeilen fast gleich sind, bis auf da steht a, und da steht 2/3. Nun kannst du dir also vorstellen, wenn du irgendeine Verteilung hast, irgendwelche Zahlen y und z, die diese 2. Gleichung lösen, dann müssen diese beiden Zahlen hier auch eingesetzt werden, damit diese Gleichung richtig ist. Und wenn wir jetzt Zahlen haben, die ?0 sind, dann kann diese Gleichung dann nur richtig sein, wenn a=2/3. Da muss man ein bisschen Erfahrung mit Gleichungssystemen haben, damit man das im Stress einer Abituraufgabe dann direkt sehen kann. Solltest du also haben, deshalb ist es manchmal gut, wenn man Gleichungssysteme auch von Hand löst und sich Gedanken macht, was heißt das eigentlich, warum ist das Gleichungssystem so, wie es ist, und so weiter. Also sieht man hier, a muss 2/3 sein, damit sich diese beiden Gleichungen nicht widersprechen, damit überhaupt solche stabilen Verteilungen existieren können. Und dann muss man natürlich noch sagen, ob das alle sind und welche konkreten stabilen Verteilungen es hier gibt und so weiter. Wie macht man das? Wenn wir jetzt schon mal wissen a=2/3, dann können wir zum Beispiel für z irgendwas einsetzen. Das habe ich hier mal gemacht, also sei z=10, dann folgt, dass y, das kann man hier sehen, gleich 3 ist. Und dann kann man z natürlich auch hier oben einsetzen, dann sieht man, dass x=4. Und damit ist jetzt eigentlich die Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, erledigt. Ich möchte aber noch darauf hinweisen, dass ja auch gut danach gefragt sein könnte danach, alle Lösungen zu bestimmen, also nicht nur eine, sondern alle hinzuschreiben. Das würde hier möglich dadurch, dass man diese stabile Verteilung, von der wir schon wissen, dass sie stabil ist, dass wir die mit einer natürlichen Zahl multiplizieren. Also alle natürlichen Zahlen kann man hier für r einsetzen und dann erhält man immer stabile Verteilungen, wenn a=2/3. Aber dass ich hier jetzt für z 10 eingesetzt habe, war am Ende gesehen sehr geschickt. Ich hätte auch 20 einsetzen können, wäre auch auf eine Verteilung gekommen, nämlich (8,6,20), aber wenn jetzt nach allen Verteilungen gefragt worden wäre, hätte ich diesen Vektor nicht hier hinsetzen können und nicht sagen können, man muss diesen Verteilungsvektor nur mit allen möglichen natürlichen Zahlen multiplizieren und erhält dann alle Verteilungen. Denn man hätte diesen Vektor hier auch mit 1/2 multiplizieren können, um eine stabile Verteilung zu erhalten. Ebenso hätte ich ja mit z=5 anfangen können, dann hätte ich auch eine stabile Verteilung bekommen, aber eine, die wir hier nicht wollen, denn wir wollen keine 3 halben Schweine haben, sondern nur ganze Schweine. Diese Verteilung hätte ich also nicht so hinschreiben können. Die Frage ist natürlich, welche Zahlen muss man sich aussuchen? Wie muss dieser Vektor hier aussehen, damit man das dann auch so schreiben kann? Nun, diese Zahlen dürfen keine gemeinsamen Teiler haben. Erstens, es müssen ganze Zahlen sein, es müssen positive Zahlen sein und sie dürfen keine gemeinsamen Teiler haben. Wenn das der Fall ist, dann kann man die Sache so hier hinschreiben. Weiß man dann relativ gut, wenn man öfter mit Brüchen noch im Kopf rechnet und ggT, kgV und so etwas keine Fremdwörter sind, Primfaktorzerlegung, das was du mal 6. oder 7. Klasse alles so gemacht hast. Dann weiß man das noch, das Verständnis hilft hier. Wir sind noch nicht ganz fertig, diese kleine Rechnung kommt noch. Was soll diese Rechnung? Hatte ich mich hier quasi schon zu früh gefreut und gesagt, wir sind fertig. Stimmt nicht ganz, nämlich, es war ja hier danach gefragt, wie viele einjährige Schweine zusätzlich verkauft werden müssen, damit eine stabile Verteilung existiert. Wir haben hier normalerweise in der Matrix die 0,8 stehen, das heißt, wenn wir jetzt einmal davon ausgehen den Schweinen geht es richtig "jove"l gut, die überleben alle das nächste Jahr. "Jovel" sagen wir in Münster für richtig gut, für toll. Also, wenn es denen gut geht, dann erreichen alle das nächste Jahr und 20 % werden verkauft. So kann man dann diese 0,8 interpretieren. Jetzt war aber die Frage: Wie viele müssen zusätzlich verkauft werden zu den 20 %, damit eine stabile Verteilung existiert? Das heißt, wir müssen noch eine Zahl hier abziehen, um auf 2/3 zu kommen, nach diesem p ist eigentlich gefragt. Und ich hoffe, das kannst du dann selber ausrechnen, p ist dann 2/15. Das heißt, 2/15 der einjährigen Schweine müssen noch zusätzlich verkauft werden, damit eine stabile Verteilung existieren kann. Und damit ist dann wirklich diese Teilaufgabe hier gelöst, es geht weiter mit dem 3. Teil. Viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    schade dass es nur so wenige videos zu fixvektor grenzvereilung und Grenzmatrix gibt bei Austauschprozessen

    Von Mandana Sarram, vor etwa einem Jahr
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