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Transkript Abituraufgabe Matrizen Grundkurs – Aufgabe 2 (2)

Hallo, hier ist der 2. Teil der Aufgabe mit den Schweinen und den Matritzen. Das ist der Aufgabentext vom Anfang, das ist unsere Übergangsmatrix, das haben wir schon alles ausgerechnet und es geht weiter mit einem leeren Feld, da sollen wir uns überlegen, ob es einen Fixvektor gibt, das bedeutet einen Zustand der Verteilung der sich im nächsten Jahr wiederholt. Oder anders gesagt: gibt es im nächsten Jahr eine Verteilung, die die gleiche ist?

Das sind alles Formulierungen für dieselbe Sache und dazu musst du dann m × einen Vektor, der jetzt noch zu bestimmen ist, multiplizieren und da soll derselbe Vektor wieder rauskommen. Das kannst du als Gleichungssystem in dein Computer Algebra System eintippen und da kommt dann der Vektor (0 0 0) heraus, das bedeutet: Ein Fixvektor ist immer ein Zustand der sich in der nächsten Zeiteinheit wiederholt, denn wenn man eine Matrix mit 0 multipliziert kommt, immer 0 raus. Gefragt war hier natürlich  eine Verteilung von Schweinen, die Zahlen hat, die größer als 0 sind und die gibt es demnach nicht, wenn der Taschenrechner nur 0 0 0 anzeigt und demnach gibt es also eine Verteilung von Schweinen, die sich im nächsten Jahr wiederholt nicht.

Dann haben wir eine Matrix gegeben, in der jetzt a und b vorkommen und  eine Verteilung von Schweinen, nämlich (40 30 100) und die Frage ist, ist es möglich a und b so zu wählen, dass im nächsten Jahr  wieder (40 30 100) herauskommt, also dass das hier ein Fixvektor ist. Nun, was kann man da machen? Du kannst es in den Taschenrechner eintippen, ich zeig’s eben so: Wenn du die 3. Zeile mit dieser Spalte multiplizierst, kommt heraus: 30a + 100b, das ist der 3. Eintrag hier in dem Vektor und wenn der Vektor, der hier rauskommt, der gleiche sein soll wie der, dann muss in der 3. Zeile 100 stehen und das ist also die Gleichung und die Frage ist jetzt: Kann man a und b so finden, dass diese  Gleichung erfüllt ist? Ja, das kann man, solche Gleichungen, lineare Gleichungen mit 2 Variablen, hattest du wahrscheinlich in der 7. oder vielleicht in der 8. Klasse, das müsste wohl gehen. Ich kann ja auch mal noch eine Lösung angeben. Wenn man a gleich 1/3 setzt, dann steht hier 10 und dann muss b = 0,9 sein, dann hast du eine Lösung angegeben und damit ist diese Aufgabe hier erledigt.

Dann ist hier eine neue Matrix N gegeben, die unterscheidet sich von der Matrix M dadurch, dass hier an der Stelle, beim Zustand a zu b eine 0,5 steht, ansonsten ist sie gleich, diese Matrix. Und man soll jetzt das Produkt n × m bestimmen. Das kannst du natürlich in den Taschenrechner eintippen und das dann hinschreiben. Dann soll N × M × v0 gerechnet werden. Wir erinnern uns, v0 ist dieser Verteilungsvektor vom Anfang. Das kannst du dann in den Taschenrechner eintippen und das Ergebnis hinschreiben. Und dann soll noch die Frage beantwortet werden, ob es relevant ist, ob die Krankheit im 1. oder im 2. Jahr auftritt. Diese Matrix steht für einen ÜÜbergang, bei dem der Übergang von den Ferkeln zu den einjährigen Schweinen reduziert ist. Hier waren es ja 0,75, da 0,5 und das soll z.B. aufgrund einer Krankheit passiert sein, daher ist von einer Krankheit die Rede.

Und da wir schon N × N × v errechnet haben, müssen wir jetzt noch M × N × v0 errechnen und dann nachsehen ob das Ergebnis hier und hier gleich ist. Wenn es nicht gleich ist, ist es relevant ob die Krankheit im 1. oder im 2. Jahr auftritt. Wenn es gleich sein sollte, wäre es natürlich egal und dann ist es nicht relevant. Das war’s dazu. Viel Spaß damit, tschüss!

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