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Transkript Abituraufgabe Grundkurs – Exponentialfunktionen (7)

Hallo, wir machen den letzten Teil in dieser Abituraufgabe Analysis für Nordrhein-Westfalen Grundkurs, Aufstieg und Fall einer mathematischen Größe. Wir sind bei Teilaufgabe 9. Und da kriegen wir erst einmal eine Formel zu sehen, nämlich die Formel für den Mittelwert einer Funktion auf einem bestimmten Intervall, von x1 bis x2. x2 ist die obere Grenze, x1 ist die untere Grenze. Diesen Mittelwert berechnet man, indem man 1/ (x2-x1) rechnet und dann multipliziert mit dem bestimmten Integral von x1 bis x2 einer beliebigen Funktion p(x). Diese Formel ist, wie gesagt, schon in der Aufgabenstellung gegeben, die muss man nicht wissen oder nachgucken. Gesucht ist jetzt der Mittelwert der mathematischen Größe auf dem Intervall [0;24]. Dabei geht es in diesem Zusammenhang um irgendeine beliebige mathematische Größe. Im konkreten Sachzusammenhang ist die dann natürlich noch genannt. So, wir können uns erst mal unsere Situation hier anschauen. Wir waren ja schon so weit, dass wir den Aufstieg dieser mathematischen Größe beschrieben haben durch eine Funktion f(x) und dann haben wir den Fall der mathematischen Größe beschrieben durch eine Funktion g(x). Die sind schon bekannt aus den vorherigen Aufgaben. Wir müssen jetzt hier den Mittelwert ausrechnen, und zwar in den Grenzen von 0 bis 24, allerdings muss man da eben beachten, dass wir hier eine stückweise definierte Funktion haben. Wir müssen jetzt hier den Mittelwert ausrechnen, und zwar in den Grenzen von 0 bis 24, allerdings muss man da eben beachten, dass wir hier eine stückweise definierte Funktion haben. Gut, dann geht es los mit der Differenz der Intervallgrenzen. Das ist von 0 bis 24, nicht wahr? Dann müssen wir von 0 bis 16 integrieren, und zwar die Funktion f(x), hatte ich gerade schon gesagt, und von 16 bis 24 von g(x). So schreibt man das dann auf und damit ist dieser Formel dann so weit genüge getan. Dann geht es jetzt um das Integrieren, nicht wahr? Zunächst habe ich dann hier für f(x) eingesetzt, was f(x) ist, ansonsten habe ich nichts verändert. Für g(x) habe ich das eingesetzt, was g(x) ist. Soweit so gut. Dann müssen wir hier z. B. diese Funktion integrieren. Wir müssen dazu erst einmal das Distributivgesetz anwenden, ja da ist es wieder! Wir müssen die Klammer auflösen, ausmultiplizieren. 15×1=15 und das Integral von 15 ist 15x, das brauche ich glaube ich nicht weiter erklären. Dann haben wir hier 15×(1-e-0,25x). Das ist eine linear verkettete Funktion und da kann man die lineare Substitution anwenden. Ich zeig das hier noch mal, obwohl ich jetzt hier nicht in Einzelheiten die lineare Substitution erklären möchte. Hier ist noch einmal die Formel dafür: Wir haben eine Funktion f, die etwas mit einer inneren linearen Funktion macht. Eine solche Funktion hat immer die Form ax+b und diese Funktion, diese verkettete Funktion, kann man jetzt integrieren, indem man 1/a×F(ax+b) bestimmt. Ich glaube du hast mich verstanden. So, wie machen wir das hier? Das ist unsere Funktion, die wir integrieren müssen. Die 15 bleibt stehen nach der Faktorregel, brauchen wir uns nicht weiter drum zu kümmern. e-0,25 ist die interessante Funktion, das ist eine verkettete Funktion, hatten wir schon beim Ableiten besprochen. Die innere Funktion ist hier der Exponent. a=-0,25 und b ist nicht da, also ist b=0. Das muss uns nicht weiter stören. Also müssen wir schreiben 1/a, 1/(-0,25). Die 15, wie gesagt, nach der Faktorregel, bleibt da stehen. Dann haben wir noch e hoch Exponent, das wird ja integriert, indem einfach die Funktion stehen bleibt, also bleibt, wie sie ist. Das habe ich hier hingeschrieben, das ist die Integration dieser Funktion, also die Anwendung der linearen Substitution. Da muss man noch ein paar Zahlen hinschreiben, wenn man das dann weiß. 15x, haben wir schon gesagt, Stammfunktion von 15. Jetzt habe ich hier noch ein bisschen angewendet. "-"×"-"="+" und 1/0,25=4. Deshalb steht diese 4 hier. Das ist eine gesuchte Stammfunktion. Das Gleiche kann man jetzt hier mit dieser Funktion auch noch machen. 804 bleibt stehen, nach der Faktorregel. Dann müssen wir hier noch die lineare Substitution verwenden. Dann müssen wir noch mit "-4" multiplizieren. Deshalb kommt dann hier diese -3216 hin. Das ist also eine Stammfunktion von dieser Funktion hier. Dann müssen wir noch die Grenzen einsetzen, das habe ich auch noch vorbereitet, da muss ich das jetzt hier nicht alles schreiben. Das ist dann etwas länglich das zu schreiben. Also wir haben 1/24 weiterhin. Hier müssen wir einmal 16 einsetzen, minus dieser Term, in den dann 0 eingesetzt wird. Ich darf noch einmal darauf hinweisen, wenn man hier 0 einsetzt, kommt in dem Fall nicht 0 raus. Das macht man dann schon mal in der Eile und sagt: "Wenn ich 0 einsetze, kommt ja eh 0 raus." Das stimmt nicht! Also, man muss das immer ordentlich machen und alles ordentlich hinschreiben. Hier haben wir dann auch einmal 24 eingesetzt und einmal 16 eingesetzt. Das muss man dann nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung natürlich voneinander abziehen. Glaube ich, muss ich hier auch nicht weiter erklären. Das Ergebnis ist dann ungefähr 9,668. Wenn du dann eine konkrete Aufgabe hast, dann steht da natürlich eine Einheit mit dabei. Weil manche Leute unbedingt eine Einheit haben möchten, schreibe ich die jetzt mit hierhin. Das war es noch nicht ganz, eine kleine Aufgabe kommt noch, Aufgabe Nr. 10. In der Originalaufgabe steht dann ein Text dazu, da geht es darum, dass dieser Prozess, den wir uns hier in der Funktion anschauen konnten, Aufstieg und Fall, wieder losgehen soll. Da könnte man z. B. sagen, der Prozess soll dann wieder losgehen, wenn diese Größe auf den Funktionswert 1 abgefallen ist. Dann ist die Frage, kann das hier bei x=25 passieren? Darf der Prozess dann wieder losgehen? Ist die Funktion dann schon gleich 1 oder kleiner als 1? Deshalb ergibt sich dann mathematisch diese Frage: Ist g(25)>1? Dann musst du die 25 in den Funktionsterm einsetzen und das mit dem Taschenrechner ausrechnen. Das Ergebnis ist dann: "Ja". Das war es, viel Spaß damit! Tschüss!

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