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Transkript Abgrenzung lineare und nicht-lineare Funktionen – Beispiel Kerzenlänge

Hallo! Ein weiterer Zusammenhang aus deiner Lebenswirklichkeit, der proportional sein könnte, hat mit Kerzen zu tun, und zwar mit der Brenndauer und der Kerzenlänge. Das hier ist eine Kerze, die ist noch nicht angezündet. Auf der Packung stand, dass sie 8 Stunden brennt und sie ist 16 cm lang. Na, das passt ja hervorragend. Ich nehme an, dass diese Kerze kontinuierlich herunterbrennt, dass sie nicht erst schnell brennt und dann langsam, wahrscheinlich wird sie gleichmäßig brennen, gleichmäßig kürzer werden. Und das sieht dann, wenn sie länger gebrannt hat, so aus. Und wenn sie noch länger gebrannt hat, sieht das so aus. Aber das muss ich dir nicht zeigen, du weißt selber, wie Kerzen aussehen. Und um das Ganze jetzt mal zu demonstrieren, möchte ich natürlich auch diese Kerze anzünden. Ein feierlicher Moment. Sie brennt, ich habe es geschafft. Also, ich nehme an, dass dieser Zusammenhang also durch eine lineare Funktion dargestellt werden kann, und deshalb möchte ich das mal zeigen und wir können hinterher ein paar Dinge ausrechnen. Wir haben also als Angabe, dass die Kerze - na, die kann ruhig hierhin, damit sie im Bild ist - wir haben als Angabe, dass die Kerze 8 Stunden brennt, das glaube ich den Leuten, die die Packung so bedruckt haben, mal einfach. Und wir haben eine Kerzenlänge von 16 cm. Wie könnte jetzt eine lineare Funktion aussehen, die die Kerzenlänge darstellt in Abhängigkeit der Brenndauer? Am Anfang steht hier natürlich das y. Ja, m ist also die Steigung bzw. für diese Funktion natürlich das Gefälle, weil die Länge ja immer kleiner wird. Sie brennt also pro Einheit, pro Stunde um 2 cm ab. Klar, wenn sie am Anfang 16 cm lang ist und 8 Stunden brennt, dann muss sie ja pro Stunde 2 cm kürzer werden, das kann man sich ganz elementar so überlegen. X ist die Anzahl der Stunden, deshalb habe ich hier y=-2×x. Und am Anfang, wenn noch überhaupt gar keine Stunde vergangen ist, ist sie 16 cm lang, das heißt, wenn ich für x also 0 einsetze, muss hier eine 16 stehen. Damit habe ich die Funktionsgleichung: y=-2x+16. Jetzt kann man sich fragen, wie lang ist die Kerze nach 3 Stunden, zum Beispiel. Wenn die jetzt hier 3 Stunden brennen würde, dann muss ich für x 3 einsetzen, dann kriege ich hier als Ergebnis die Länge der Kerze nach 3 Stunden, das ist hoffentlich kein Problem: -2×3=-6, -6+16=10. Naja, das hätte man auch so überblicken können, wie lang die Kerze nach 3 Stunden ist. Nächste Frage wäre: Wie lang muss sie brennen, damit sie noch 3 cm hoch ist? Das bedeutet, y soll =3 sein. Ich teile das hier mal ab, damit du weißt, dass das nicht zusammengehört, das sind unterschiedliche Aufgaben, unterschiedliche Fragen an dieselbe Kerze. Damit sie also 3 cm lang ist, muss sie eine Weile brennen, wir suchen das x. Wie viel Stunden muss sie brennen, damit sie 3 cm lang ist? Und dazu muss ich diese Gleichung [3=-2×x+16] nach x auflösen, das ist auch schnell gemacht. Ich bringe die 16 auf die andere Seite, indem ich nämlich -16 rechne auf beiden Seiten. 3-16=-13. Und wenn das geschafft ist, muss ich hier noch durch -2 teilen, das schreibe ich gleich mal hier alles in einem Rutsch: -13/-2. Dazu nehmen wir den Taschenrechner - und schmeißen ihn weg und rechnen das im Kopf aus, es ist 6,5 selbstverständlich. Und das ist dann die Brenndauer, bis die Kerze die Länge von 3 cm erreicht hat. Den Funktionsgraphen zeige ich jetzt nicht dazu. Wenn das das Koordinatensystem ist, sieht der Funktionsgraph so aus. Jetzt habe ich es doch gezeigt, aber nicht richtig. Es ist noch zu überlegen: Ist das wirklich in allen Bereichen linear? Naja, oben war die Kerze ja etwas schmaler, da wird sie etwas schneller brennen als pro Stunde 2 cm, unten ist es auch nicht ganz richtig, denn sie brennt ja nicht so lange runter, bis sie dann, sage ich mal, 1 mm groß ist, 0,5 mm groß ist usw., der Docht wird ja irgendwann umfallen. Das sind aber so Kleinigkeiten an den Rändern. Ich denke mal, wenn man für den normalen Gebrauch diese Kerze betrachtet, dann hat man einen linearen Zusammenhang. Das kann man mit aller Vernunft wohl so sagen. Ja, damit ist, glaube ich, zu dieser Kerze alles gesagt, dann kann ich sie wieder auspusten. Der Letzte macht das Licht aus. Bis bald. Viel Spaß. Tschüss!

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