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Abstand Gerade-Ebene – Aufgabe (1) – Übungen

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Hallo, hier haben wir wieder einen Würfel mit eingehängtem Dreieck. Durch das Dreieck mit den Punkten M1 (2| 0| 2), M2 (0| 2| 2) und E (0| 0| 4) wird eine Ebene aufgespannt. In dieser Aufgabe geht es nun um Folgendes: Wir haben eine Gerade die durch die Punkte F und H des Würfels verläuft und wir möchten wissen, ob die Gerade mit der Ebene einen Schnittpunkt hat oder nicht. Falls sie einen Schnittpunkt haben, werden wir ihn bestimmen. Falls kein Schnittpunkt da ist, sollen wir den Abstand der Geraden zur Ebene berechnen.

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Aufgaben in dieser Übung
Stelle eine Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte $F(4|0|4)$ und $H(0|4|4)$ auf.
Beschreibe, wie die Gerade $g:\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 4 \\ -4\\ 0 \end{pmatrix}$ zu der Ebene $E:x_1+x_2+x_3=4$ liegt.
Prüfe die Lage der Geraden $g:\vec x=\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\-7 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$ zu der Ebene $E:-2x+y-3z=6$.
Stelle eine Gleichung der Geraden $h$ auf, die den gegebenen Punkt $P(-3|7|-7)$ enthält und senkrecht zu $E:-2x+y-3z$ steht.
Gib die Geradengleichung $g:\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 4 \\ -4\\ 0 \end{pmatrix}$ koordinatenweise an.
Beschreibe, wie der Abstand der Geraden zu der Ebene berechnet werden kann.