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Definition einer Gleichung und Lösung einer Gleichung mit einer Variablen

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die mit einem Gleichheitszeichen verbunden sind. In den Termen tritt mindestens eine Variable auf.

Im Folgenden betrachten wir nur Gleichungen mit einer Variablen. Für diese Variable kannst du Zahlen einsetzen und machst die Gleichung dadurch zu einer wahren oder falschen Aussage.

Eine Zahl ist Lösung einer Gleichung, wenn die Zahl die Gleichung erfüllt. Das bedeutet: Nach dem Ersetzen der Variable durch die Zahl entsteht eine wahre Aussage. Alle Lösungen einer Gleichung zusammen ergeben die Lösungsmenge.

Beispiel Lösung einer Gleichung mit einer Variablen:

Die Zahl 3 ist eine Lösung der Gleichung x² = 2 · x + 3, denn 32 = 2 · 3 + 3 ist eine wahre Aussage: 9 = 9.

Gleichungen lösen durch Probieren & Rückwärtsrechnen

Wie kannst du aber nun auf diese Lösung kommen? Eine Möglichkeit besteht darin, die Lösung einer Gleichung durch Probieren zu ermitteln.

Probieren bedeutet hier: Du setzt hintereinander verschiedene Zahlen in die Gleichung ein und überprüfst, ob eine wahre Aussage entsteht. Ist das der Fall, hast du eine Lösung gefunden. Deine Lösungsversuche hältst du am besten in einer Tabelle fest.

Beispiel zum Lösen von Gleichungen durch Probieren:

Nimm das obige Beispiel mit der Gleichung x² = 2 · x + 3. Die gesuchte Lösung soll eine ganze Zahl sein. Damit scheiden schon mal alle Dezimalzahlen zum Probieren aus. Da auch die Zahl 0 eine Lösung sein kann, probierst du jetzt nacheinander 0, 1, 2, 3, …

In der ersten Spalte notierst du die eingesetzte Zahl. In die zweite Spalte kommt die Aussage, die sich durch das Einsetzen in die Gleichung ergibt. In der dritten Spalte notierst du, ob eine wahre oder falsche Aussage entsteht.

Beispiel 1 Gleichung lösen durch Probieren

Durch Probieren hast du die Lösung 3 gefunden.

Ist es sinnvoll, auch 4, 5, 6 usw. zu testen? Wenn du dir die zweite Spalte anschaust, stellst du fest, dass die linke Seite der Gleichung schneller ansteigt als die rechte. Das liegt daran, dass auf der linken Seite das Quadrat der eingesetzten Zahl gebildet wird. Deswegen kannst du ausschließen, dass du für Zahlen größer als 3 weitere Lösungen findest.

Aber eventuell liefern negative Zahlen weitere Lösungen. Einsetzen ergibt:

Beispiel 2 Gleichung lösen durch Probieren

Schon der erste Versuch liefert einen Treffer. Weitere negative Zahlen:

Beispiel 3 Gleichung lösen durch Probieren

Weitere negative Lösungen kann es nicht geben, da die linke Seite der Gleichung immer positiv ist, die rechte aber negativ. Das gilt für alle negativen Zahlen außer –1.

Beim Lösen durch Probieren sind also zwei Dinge wichtig.

  1. Setze nur Zahlen ein, die auch eine Lösung sein "dürfen" (z.B. nur ganze Zahlen).
  2. Überlege, wie sich die Terme entwickeln für verschiedene Zahlen, die du einsetzt. Häufig erkennst du dann, dass bestimmte Zahlen keine Lösung liefern können.

Durch Probieren kannst du nur feststellen, ob eine bestimmte Zahl die Gleichung löst. Häufig ist es schwierig, die richtige Zahl zu finden. Außerdem weißt du nicht, wann du alle Lösungen gefunden hast.

Oft ist es günstiger, eine Gleichung durch Rückwärtsschließen zu lösen.

Beispiel 1 Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen:

Gegeben ist die Gleichung 7 · x + 5 = 33. Hier wird zu einem Produkt noch 5 addiert, wodurch man 33 erhält. Ohne die Addition von 5 wäre das Ergebnis also 28. Jetzt ist die Fragestellung einfacher geworden: Gesucht ist eine Zahl, deren Siebenfaches 28 ist. Das kann nur die Zahl 7 sein. Die Gleichung 7 · x + 5 = 33 hat also die Lösung 4.

In diesem Beispiel hast du etwas gemacht, was sich als allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen eignet: das Lösen von Gleichungen durch Umformen. Die Lösungsmenge einer Gleichung bleibt nämlich unverändert, wenn du sie äquivalent umformst. Das bedeutet:

  1. Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
  2. Du darfst beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren bzw. beide Seiten durch dieselbe Zahl dividieren.

Solche äquivalenten Umformungen helfen dir, die Lösung systematisch zu finden. Das Ziel der Umformungen besteht darin, den Term mit der Variablen zu isolieren.

Beispiel 2 Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen:

Betrachte noch einmal das Beispiel 7 · x + 5 = 33.

  1. Zunächst subtrahierst du auf beiden Seiten 5, also: 7 · x + 5 – 5 = 33 – 5
  2. Die Gleichung lautet jetzt 7 · x = 28.
  3. Nun dividierst du beide Seiten durch 7, also: (7 · x) : 7 = 28 : 7
  4. Die neue Gleichung lautet nun x = 4. Das ist schon die Lösung der ursprünglichen Gleichung, da du nur äquivalente Umformungen gemacht hast.