Definition Kongruenz von Dreiecken und Kongruenzsätze

Wenn Dreiecke nach einer Verschiebung, Drehung oder Achsenspiegelung deckungsgleich sind, so nennt man diese Dreiecke kongruent. Zueinander kongruente Dreiecke sind flächengleich. Das bedeutet: Der Flächeninhalt von Dreieck 1 ist gleich dem Flächeninhalt von Dreieck 2.

2 kongruente Dreiecke

Die Kongruenzsätze geben dir nun Aussagen darüber, wann Dreiecke zueinander kongruent sind. Dabei geht es immer um die Übereinstimmung bestimmter Seiten (S) und Winkel (W).

Kongruenzsatz WSW und Kongruenzsatz SWW

Stimmen zwei Dreiecke in einer Seite und zwei Winkeln überein, so sind sie kongruent. Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

a) Die beiden Winkel liegen an der Seite an, d.h. die Seite liegt zwischen den beiden Winkeln (WSW).

Kongruenzsatz WSW am Dreieck

b) Ein Winkel liegt an der Seite an, der andere Winkel liegt der Seite gegenüber (SWW).

Kongruenzsatz SWW am Dreieck

Die Fälle a) und b) hängen über die Winkelsumme im Dreieck zusammen. Diese beträgt immer 180°, d.h. sind zwei Winkel gegeben, ist der dritte automatisch festgelegt.

Die Sätze WSW bzw. SWW kannst du benutzen, um ein Dreieck aus der Angabe der Seite und der Winkel eindeutig zu konstruieren.

Konstruktion von Dreiecken mit WSW

Gegeben sind beispielsweise die Seite c und die Winkel α und β. Für die Konstruktion arbeitest du folgende Schritte ab:

  1. Zeichne die Seite c mit den Punkten A und B.
  2. Trage an c in A den Winkel α ab und zeichne den zugehörigen Schenkel.
  3. Trage an c in B den Winkel β ab und zeichne den zugehörigen Schenkel
  4. Der Schnittpunkte der beiden Schenkel ist Punkt C.

Konstruktion von Dreiecken mit SWW

Gegeben sind beispielsweise die Seite c und die Winkel β und γ, wobei γ gegenüber von c liegt.

  1. Zeichne die Seite c mit den Punkten A und B.
  2. Trage an c in A den Winkel α ab und zeichne den zugehörigen Schenkel.
  3. Tragen an einem beliebigen Punkt dieses Schenkels den Winkel γ ab .
  4. Zeichne eine Parallele zu dem zweiten Schenkel, die durch den Punkt A geht.

Kongruenzsatz SWS

Stimmen Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, so sind sie kongruent.

Kongruenzsatz SWS am Dreieck

Konstruktion von Dreiecken mit SWS

Diesen Satz kannst du benutzen, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren, von dem zwei Seiten (z.B. b und c) und die Winkelgröße des von ihnen eingeschlossenen Winkels (α) bekannt sind.

  1. Zeichne die Seite c mit den Punkten A und B.
  2. Trage an c in A den Winkel α ab.
  3. Ziehe einen Kreis um A mit dem Radius der Länge der Seite b.
  4. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel ist Punkt C.
  5. Verbinde die Punkte B und C. Dies ist die Seite a.

Kongruenzsatz SSS

Stimmen Dreiecke in all ihren drei Seiten überein, so sind sie kongruent.

Kongruenzsatz SSS am Dreieck

Konstruktion von Dreiecken mit SSS

Auch mit diesem Satz kannst du ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn dir die drei Seiten (d.h. ihre Seitenlängen) bekannt sind.

  1. Zeichne die Seite c mit den Punkten A und B.
  2. Schlage um A einen Kreis mit dem Radius b.
  3. Schlage um B einen Kreis mit dem Radius a.
  4. Der Schnittpunkte der Kreise ist der Punkt C.

In Schritt 4 sind genau genommen zwei Schnittpunkte der beiden Kreise möglich. Die beiden möglichen Dreiecke sind aber spiegelgleich zueinander (Spiegelachse c). Also sind sie kongruent.

Kongruenzsatz SsW

Stimmen Dreiecke in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, so sind sie kongruent.

Kongruenzsatz SsW am Dreieck

Konstruktion von Dreiecken mit SsW

Mit diesem Satz lässt sich auf eindeutige Weise ein Dreieck konstruieren, von dem zwei Seiten (b und c mit b > c) und der Winkel (β) , welcher der größeren Seite gegenüberliegt, bekannt sind. 1. Zeichne die Seite c mit den Punkten A und B. 2. Trage an c in B den Winkel β ab und zeichne den zugehörigen Schenkel. 3. Schlage um A einen Kreis mit dem Radius b. 4. Der Schnittpunkt des Kreises mit dem Schenkel ist C.

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Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Kongruenzsätze für Dreiecke

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