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Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen

Aus dem Flächeninhalt eines kompletten Kreises kannst du den Flächeninhalt eines Kreisrings ableiten. Ein Kreisring ist eine Fläche, die von zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt, aber unterschiedlichen Radien begrenzt wird.

Kreisring mit innerem und äußerem Radius

Um den Flächeninhalt zu berechnen, ziehst du den Flächeninhalt des inneren Kreises vom Flächeninhalt des äußeren Kreies ab: A = π · R2 – π · r2 = π · (R2 – r2). Dabei ist R der Radius des äußeren (größeren) Kreises und r der Radius des inneren (kleineren) Kreises.

Ein Beispiel: Um einen kreisförmigen See soll ein 3 m breiter Weg angelegt werden. Der See hat einen Durchmesser von d = 64 m. Wie groß wird die Fläche des Weges? Der Radius des Sees beträgt r = d/2 = 32 m, der Radius von See plus Weg beträgt R = 32 m + 3 m = 35 m. Also hat der Weg die Fläche A = π · [(35 m)² – (32 m)²] ≈ 631,5 m².

Flächeninhalt von Kreisausschnitten

Auch die Fläche von Kreisauschnitten bzw. Kreissektoren (anschaulich: von „Kuchenstücken“ aus dem Kreis) kannst du berechnen. Ein solcher Kreisausschnitt ist durch den Mittelpunktswinkel (auch Zentriwinkel genannt) α definiert. Das ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt M ist. Der Mittelpunktswinkel bestimmt die Länge des Kreisbogens b und die Größe des Kreisausschnitts. Ist α = 360°, liegt der gesamte Kreis vor. Ein halber Kreis hat den Mittelpunktswinkel α = 180°.

Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel und Kreisbogen

Die Länge von b berechnet sich nach der folgenden Formel:

Formel zur Berechnung der Länge des Kreisbogens

Du siehst: Wenn du für α = 360° einsetzt, entspricht die Länge des Kreisbogens b dem Umfang u des gesamten Kreises,

Formel zur Berechnung der Länge des Kreisbogens 360 Grad

Ein Kreisausschnitt ist nun der Teil der Kreisfläche, der von den Schenkeln des Mittelpunktswinkels α und dem zugehörigen Kreisbogen b begrenzt wird. Die Fläche A dieses Kreisausschnitts berechnest du nach der folgenden Formel:

Formel zur Berechnung der Fläche eines Kreisausschnitts

Du siehst: Wenn du α = 360° einsetzt, erhälst du den Flächeninhalt des gesamten Kreises,

Formel zur Berechnung der Fläche eines Kreisausschnitts 360 Grad

Beispiel-Berechnung eines Kreisausschnitts

Ein Beispiel: Du willst eine Riesenpizza mit dem Radius r = 15 cm in acht gleichgroße Stücke aufteilen. Jedes Stück hat also den Mittelpunktswinkel α = 360°/8 = 45° und somit den Flächeninhalt

Berechnung der Fläche eines Kreisausschnitts Beispiel

Neben den Flächeninhalten von Kreisringen und Kreisausschnitten (Kreisteilen) kannst du dich auf der Plattform auch über Berechnungen von Kreisabschnitten und Kreisbögen informieren.

Videos in diesem Thema

Kreisbogen – Definition

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