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Stochastik

Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches die Gebiete

  • Statistik und
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung

umfasst.

Statistik

Die beschreibende Statistik beschäftigt sich mit der Erhebung sowie Darstellung von Daten.

Dies kannst du dir an dem folgenden Beispiel klarmachen.

Die Eisdiele „Gelato Vinzenzo“ hat eine Befragung unter ihren Gästen durchgeführt.

  • $50~\%$ der Befragten gaben an, am liebsten Schokoladeneis zu essen,
  • $25~\%$ Erdbeereis,
  • $17,5~\%$ Vanilleeis und
  • $7,5~\%$ Zitroneneis.

Da Rossana, die Besitzerin der Eisdiele, Statistiken liebt, hat sie diese Prozentangaben in Form eines Kreisdiagramms dargestellt. Hierfür hat sie die oben angegebenen Prozentzahlen jeweils mit $360^\circ$ multipliziert und gemäß der so erhaltenen Winkel die Kreisausschnitte eingezeichnet.

1232_Kreisdiagramm.jpg

Diese Daten können auch mit Hilfe andere Diagramme veranschaulicht werden, beispielsweise durch ein Balkendiagramm. Hierfür teilst du einen Balken gemäß der betrachteten Prozente auf.

1232_Balkendiagramm.jpg

Jede dieser Darstellung dient dazu, die erhobenen Daten anschaulicher darzustellen. Die entsprechenden Informationen können damit schneller erfasst werden.

Du kennst solche Darstellung sicher bereits:

  • Bei Wahlen werden die prozentualen Anteile der einzelnen Parteien in Form von Kreisdiagrammen oder Balkendiagrammen dargestellt.
  • Die Notenverteilung in einer Klasse kann in Form eines Kreisdiagramms dargestellt werden.
  • Der Besitzer eines Warenhauses möchte ermitteln, wie viele Kunden das Warenhaus in gegebenen Zeiträumen besuchen. Dies kann er mit Hilfe eines Kreis- oder Balkendiagramms darstellen.

Es gibt noch weitere Formen, um statistische Daten darzustellen, beispielsweise

  • mit Hilfe von Quantilen und Boxplots oder
  • mit Hilfe von Säulendiagrammen. Ein solches siehst du für das obige Beispiel hier.

1232_Säulendiagramm.jpg

Es gibt verschiedene statistische Kennwerte zur Erklärung von statistischen Daten:

Lageparamter

Ein Lageparameter ist ein Kennwert dafür, in welchem Bereich die Daten sich befinden.

Betrachte hierfür den folgenden geordneten Datensatz (Menge an erhobenen Daten). Dieser stellt die Sprungweiten bei einem Leichtathletikfest einer Schule dar.

$420;~430;~440;~440;~440;~490;~490;~510$

  • Das Minimum dieses Datensatzes ist der kleinste Wert, also $420$.
  • Das Maximum dieses Datensatzes ist der größte Wert, also $510$.

Nun gibt es verschiedene Mittelwerte:

  • Das arithmetische Mittel ($\bar x$) dieses Datensatzes erhältst du, indem du alle Daten addierst und die Summe durch die Anzahl der Daten dividierst:

$\quad~~\bar x=\frac{420+430+440+440+440+490+490+510}{8}=\frac{3660}{8}=457,5$

  • Der Median ($\tilde{x}$) ist der mittlere Datenwert des geordneten Datensatzes. Wenn, wie in dem Beispiel mit den Sprungweiten, die Anzahl der Daten gerade ist, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.

$\quad~~\tilde{x}=\frac{440+440}2=\frac{880}2=440$

  • Der Modalwert ($\tilde{x_d}$) ist der Datenwert, der am häufigsten auftritt: $\tilde{{x}_{d}} =440$.

Streuungsparameter

Ein Streuungsparameter ist ein Kennwert für die Abweichung der erhobenen Daten von dem Mittelwert.

  • Die Spannbreite ist die Differenz von Maximum und Minimum eines Datensatzes. In dem obigen Beispiel ist dies $510-420=90$.
  • Die Varianz ($VAR(X)$, $s^2$ oder $\sigma^2$) erhältst du, indem du zunächst die Differenz eines jeden Datenwertes und des Mittelwertes quadrierst und diese Quadrate addierst:

$\quad$ Zur Erinnerung:

$\quad$ arithmetisches Mittel: $\quad~~\bar x=\frac{420+430+440+440+440+490+490+510}{8}=\frac{3660}{8}=457,5$

$\quad$ Datensatz: $420;~430;~440;~440;~440;~490;~490;~510$

$\begin{array}{cl}&(420-457,5)^2+(430-457,5)^2+(440-457,5)^2\\ &+(440-457,5)^2+(440-457,5)^2+(490-457,5)^2\\ &+(490-457,5)^2+(510-457,5)^2= 7950\end{array}$

$\quad$ Zuletzt dividierst du die Summe durch die Anzahl der Daten:

$\quad~~s^2=\frac{7950}8=993,75$

  • Die Standartabweichung ($\sigma$ oder $s$) eines Datensatzes ist die Wurzel aus der Varianz:

$\quad~~s=\sqrt{s^2}=\sqrt{993,75}\approx31,52$

Die Formeln zur Berechnung dieser Streuungsparameter lauten:

  • Varianz: $s^2=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {(x_i - \bar {x})}^2$
  • Standartabweichung: $s=\sqrt {\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n {(x_i - \bar {x})}^2}$ oder kurz: $s=\sqrt{s^2}$

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsexperimente und insbesondere die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen und Ereignissen betrachtet.

Was ist ein Zufallsexperiment?

Ein Experiment wird als Zufallsexperiment bezeichnet, wenn

  • mindestens zwei Ergebnisse möglich sind,
  • es beliebig oft durchgeführt werden kann und
  • das Ergebnis nicht vorhersehbar ist.

Dabei ist ein Ergebnis ein Ausgang dieses Zufallsexperimentes. Eine Menge bestehend aus Ergebnissen wird als Ereignis bezeichnet.

Stelle dir das folgende Experiment vor: In einer Urne befinden sich vier Kugeln, zwei rote und zwei blaue.

1195_Urne.jpg

Du ziehst eine Kugel aus dieser Urne. Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind $r$ für „es wird eine rote Kugel gezogen“ oder $b$ für „es wird eine blaue Kugel gezogen“.

Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ergebnisse berechnen, indem du die Anzahl der roten (blauen) Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln dividierst:

$P(r)=\frac24=\frac12$

$P(b)=\frac24=\frac12$

  • Wenn du einmal eine Kugel aus dieser Urne ziehst, so ist dies ein einstufiges Zufallsexperiment.
  • Wenn du mehrmals eine Kugel aus der Urne ziehst, handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.

Baumdiagramm

Baumdiagramme dienen dazu, ein mehrstufiges Zufallsexperiment graphisch darzustellen.

Beispiel

Wenn du aus der obigen Urne zweimal eine Kugel mit Zurücklegen ziehst, kannst du dieses Baumdiagramm anfertigen:

1195_Baumdiagramm_m_Z_1.jpg

$~$

  • In dem Baumdiagramm führt in der ersten Stufe jeweils ein Ast zu rot und einer zu blau.
  • Auf den Ästen stehen die Wahrscheinlichkeiten, dafür, eine rote oder blaue Kugel zu ziehen.
  • In der zweiten Stufe führt von jedem Ergebnis der ersten Stufe wieder jeweils ein Ast zu rot und einer zu blau.
  • Auch auf diesen Ästen stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Der gesamte Weg, zum Beispiel über rot zu rot, wird als Pfad bezeichnet.

Am Ende eines Pfades steht ein Ergebnis des zweistufigen Zufallsexperimentes „zweimaliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen“. Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind $(r,r)$, $(r,b)$, $(b,r)$ und $(b,b)$.

Mit Hilfe eines Baumdiagrammes kannst du

  • die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen mit der Pfadregel und
  • diejenige von Ereignissen mit der Summenregel berechnen.