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Transkript Zweierkomplementzahlen: umwandeln + addieren

Hi, dieses Video ist ein Einführungsvideo über die Zweier-Komplement-Zahlen. Ich zeige euch, wie man Zahlen in Zweier-Komplement-Zahlen umwandelt oder wie man die auch addiert. Okay, Zweier-Komplement-Zahlen sind vorzeichenbehaftete Binärzahlen. Die Stelle ganz links liefert das Vorzeichen, wobei eine 1 bedeutet „die Zahl ist negativ“ und eine 0 bedeutet „die Zahl ist positiv“. Das geht jetzt aber nicht ganz so einfach, also zum Beispiel: Die Zweier-Komplement-Zahl 101 ist nicht einfach -01, also nicht -1. Ihr könnt nicht einfach sagen Plus oder Minus, sondern das ist schon ein bisschen komplexer. Gut, dann zeige ich euch das Ganze jetzt. Folgende vorzeichenlose, also positive, Binärzahlen sollen in Zweier-Komplement-Zahlen, also negativ dann wieder, umgewandelt werden und das in der angegebenen Bitgröße. Aus einer positiven Zahl wird dann also eine negative. Wenn wir also 5 haben, dann sollen wir -5 als Zweier-Komplement-Zahl angeben. So, das Ganze läuft folgendermaßen ab. Zunächst einmal erweitern wir die positive Dual- oder Binärzahl um die angegebenen Bits. Anschließend wird das Ganze negiert. Also aus jeder 1 wird eine 0 und aus jeder 0 wird eine 1. Und anschließend addieren wir die 1 darauf. Aufgabe a: Wir wollen ein 4 Bit großes Ergebnis der Zahl 110 haben. Das ist übrigens 6, wenn das hier eine Binärzahl ist. Jetzt erweitern wir diese Zahl auf 4 Bits, fehlt also noch 1. Das macht dann gleich 1010. Das bedeutet: Da das hier 6 sind, ist das die Zweier-Komplement-Zahl -6. Das hier ist jetzt eine Zweier-Komplement-Zahl, wir hatten vorher vorzeichenlose Komplementzahlen beachtet. Das heißt, das könnt ihr jetzt nicht einfach abzählen, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, sondern es sind -6 und keine 10, das hier ist kein Wert, sondern das Vorzeichen. Übrigens ist das hier jetzt das Gleiche wie 11111...1010. Gut, das ganze noch mal: Wir wollen die positive Binärzahl x = 10011 als eine 8 Bit große Zweier-Komplement-Zahl darstellen, also -x. Zuerst einmal erweitern wir x um die Bits, die noch fehlen. X ist jetzt eine 5 Bit-Zahl, 1, 2, 3, 4, 5 und das heißt, wir müssen noch 000 vorne anfügen. X als Zweier-Komplement-Zahl, also -x = x negiert + 1, das Ganze hier negieren, aus jeder 0 wird eine 1 aus jeder 1 wird eine 0, 11101100 und das Ganze +1 und schon sind wir fertig. Okay, so viel zum Umwandeln, jetzt kommen wir zur Addition von Zweier-Komplement-Zahlen. Dabei ist wichtig, dass wir die Zahl, die weniger Bit hat, mit dem Vorzeichen auffüllen, sodass beide Zahlen gleich viele Bit haben und der Übertrag fällt weg. Gut, dann mal ein kleines Beispiel: Wir rechnen jetzt 10+0101. Ich rede hier immer von Zweier-Komplement-Zahlen, also das sind immer Dualzahlen mit einem Vorzeichen. Wir schreiben zuerst einmal die bitmäßig größere Zahl nach oben, wobei, in dem Fall ist es sogar die größere Zahl, die ist nämlich positiv und die ist negativ. Jetzt schreiben wir die Zahl darunter und füllen diese beiden Stellen mit dem Vorzeichen auf, also mit 1en. Jetzt das Ganze addieren und der Übertrag fällt weg. Unser Ergebnis ist also 0011 und das wären 3 als Dezimalzahl. Übrigens: Das Zweierkomplement vom Zweierkomplement ergibt wieder die ursprüngliche Zahl. Wir haben hier eine negative Zahl, ich nehme jetzt diese Zahl, einfach erweitert, damit wir gleich nicht durcheinander kommen. Bei Zweier-Komplement-Zahlen ist das, das Gleiche wie das, aber nur bei Zweier-Komplement-Zahlen. Jetzt das Zweierkomplement vom Zweierkomplement sind gleich 0010 und das sind 2. Würden wir hiervon das Zweierkomplement bilden, dann würden wir wieder das heraus bekommen und das wäre ein bisschen verwirrend und deswegen habe ich die Zahl noch ein bisschen erweitert. Also, wenn das 2 ist, ist das hier -2. Ich weiß, es steht das Gleiche da, wie bei 2, aber das -2, denn das ist eine Zweier-Komplement-Zahl und das oder das ist die ursprüngliche Zahl. Bei dieser Zahl ist es wiederum egal, ob es eine Zweier-Komplement-Zahl oder keine Zweier-Komplement-Zahl ist, weil: Ist es eine 0 als Vorzeichen, kann man es genauso gut als positive Dualzahl, also als vorzeichenlose Dualzahl betrachten. Diese Zahl hier ist übrigens 5, positiv. 5+(-2)=3. Okay, jetzt wollen wir gerne diese beiden Zahlen berechnen und es handelt sich wieder um Zweier-Komplement-Zahlen, das hier ist eine negative Zahl, 1 vorne, das hier ist eine negative Zahl, 1 vorne. Das bedeutet: Die Zahl wird noch negativer, die da herauskommt. Negative Zahl + negative Zahl, geht noch weiter ins Minus herein. Übrigens, ihr müsst eigentlich nicht nur die 1 auffüllen, ihr könnt auch einen kleinen Trick machen: die kleinere Zahl davor schreiben und jetzt einfach die Zahl hier abschreiben und diese 1en weglassen, weil diese ganzen 1 sind Vorzeichen, also bei positiven Zahlen gilt ja auch, da kann man 0 so viele haben, wie man will und bei negativen Zweier-Komplement-Zahlen kann man 1en haben so viele man will. Deswegen: Ich könnte entweder die Zahl erweitern oder die Zahl verkürzen. Jetzt müsst ihr natürlich darauf achten: Wenn hier eine 0 wäre, dann müsst ihr natürlich beide Zahlen erweitern, weil ihr könnt nicht die 1, die das letzte Vorzeichen ist sozusagen, weglassen. Und jetzt addieren wir das Ganze wieder. Jetzt fällt allerdings der Übertrag nicht weg, denn würde er am Ende wegfallen, dann hätten wir ja eine positive Zahl, also ihr könnt diesen Trick nur machen, wenn ihr wisst: Das Ergebnis am Ende muss negativ sein und dann sorge ich auch dafür, dass es negativ ist. Sicherer ist es natürlich, wenn ihr die ganzen 1en auffüllt, aber dann habt ihr ein kleines Risiko euch zu verrechnen, weil man sich bei einer breiteren Addition verrechnet. Ist mir bisher in jeder Klausur passiert. Und noch einmal, damit wir eine kleine Kontrolle haben: Das hier, wenn wir sagen x=10011, und diese Zahl ist ja negativ, dann wäre -x, hier seht ihr übrigens: Wenn ich das Zweierkomplement davon bilde, wenn hier mehr 1en wären, würden hier mehr 0 sein und das ist ja egal, wie viele 0 hier sind. Lange Rede, kurzer Sinn. Das ergibt gleich 1101 als positive Dualzahl. Und das hier, hier seht ihr es, zwei 1en, zwei 0en, deswegen lasse ich die 0 einfach weg, das hier sind 13, das hier sind -13, das hier sind 6, also sind das -6. Okay, ich weiß, jetzt wird es ein bisschen ekelhaft unübersichtlich. Das waren unsere beiden Zahlen, x+y=z. Z war unser Ergebnis, und wenn wir das jetzt negieren, also das Zweierkomplement davon bilden, Negieren + 1, dann erhalten wir 19. 13+6=19 bzw. (-13)+(-6)=(-19).  

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4 Kommentare
  1. Printimage

    Hallo Filomena,

    ich glaube deine Frage wurde direkt vor deinem Kommentar schon einmal gestellt, hilft dir die Erklärung unten?

    LG

    Von Steph Richter, vor 6 Monaten
  2. Default

    wie kommen sie auf die 1101101

    Von Filomena Manfredi, vor 6 Monaten
  3. Printimage

    Hallo Andre,

    10011 (19) + 11010 (26) würde bei Dualzahlen tatsächlich 101101 (45) ergeben. Aber hierbei handelt es sich um Zweierkomplementzahlen also 10011 (-13) + 11010 (-6) = 10011 (-19).

    LG

    Stephan

    Von Steph Richter, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Hallo!
    Super erklärt, aber müsste bei der Addition von x und y, also 10011 und 11010 nicht 101101 rauskommen? Dann ist da eine eins zuviel, was natürlich egal ist weil sie nicht zählt, ist aber irgendwie doch verwirrend wo die auf einmal herkommt?! Aber ansonsten top, habe alle Videos zu den Zahlen durch und macht Mörderspaß:)
    Lg Andre

    Von Andrestammsen, vor etwa 2 Jahren