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Textversion des Videos

Transkript Radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit (Übungsvideo 2)

Hallo und herzlich willkommen. Das heutige Video ist wieder eine Übung zum Thema radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit. Um in diese Übung einzusteigen, solltest Du aber bereits wissen: 1. Was Radioaktivität überhaupt ist und 2. wie die radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit beschrieben wird. Und außerdem solltest Du natürlich ein paar mathematische Grundkenntnisse mitbringen.

Zur Wiederholung bzw. als Überblick hier noch einmal jene Formeln, die uns zur Verfügung stehen. Da ist einmal das Zerfallsgesetz in 3-facher Ausführung, einmal bezogen auf die Aktivität, einmal bezogen auf die Teilchenzahl und einmal bezogen auf die Masse der Probe. Dann haben wir noch die Gleichung, mit der die Halbwertzeit einer Substanz berechnet wird, nämlich als ln2 durch λ, wobei λ die Zerfallskonstante ist. So, dann kann es ja los gehen.

Die Übungsaufgabe lautet: Die Aktivität einer strahlenden Substanz sinkt innerhalb von 7 Stunden von 4,2×106 Bq auf 3,7×106 Bq. Wie groß ist die Halbwertzeit der fraglichen Substanz? So wenn Ihr wollt, könnt Ihr das Video jetzt anhalten und die Aufgabe selber lösen. Danach könnt Ihr das Video weiterlaufen lassen und mit meinem Lösungsweg vergleichen. So seid Ihr bereit für die Lösung? Dann mal los.

Es ist immer dasselbe. Nämlich sinnvoll sich eine Liste zu machen, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. In diesem Falle ist A0 gegeben, also die Anfangsaktivität mit 4,2×106 Bq, die Aktivität zum Zeitpunkt t mit 3,7×106 Bq und der Zeitpunkt t mit 7 Stunden. Gesucht ist laut Fragestellung die Halbwertszeit t½. Der nächste Schritt bei der Lösung einer solchen Aufgabe, besteht dann stets darin, sich jene Formeln ins Gedächtnis zu rufen, die sinnvoll erscheinen, also die hilfreich sein könnten. Und das ist in diesem Falle natürlich die Gleichung t½=ln2÷λ. Wir könnten also ganz leicht die Halbwertszeit ausrechnen, wenn da nicht jenes kleine Problem wäre, dass wir λ ja gar nicht kennen. Also brauchen wir noch eine Gleichung. Sinnvollerweise ist, dass eine Gleichung die möglichst viele unser bekannten Größen enthält und außerdem noch zum Beispiel λ. Und da bietet sich das aktivitätsbezogene Zerfallsgesetz an. A(t) = A0×e^-λt. A(t) ist bekannt, A0 ist bekannt, t ist bekannt. Folglich können wir λ mithilfe dieser Gleichung ausrechnen. Dazu müssen wir die Gleichung allerdings nach λ umstellen. Also teilen wir zunächst einmal durch A0, sodass dann da steht, A(t)÷A0e ^-λt. Da unsere gesuchte Größe das λ nun weiterhin im Exponenten steht, muss auf beiden Seiten der Gleichung nun logarithmiert werden. Nun steht da: ln(A(t)÷A0)=-λ×t. Gemäß den Rechenregeln für Logarithmen kann man diesen Ausdruck dann noch umschreiben, indem man dem Bruch, im Argument des Logarithmus verkehrt, verändert man auch das Vorzeichen. Folglich steht da nun: ln von A0÷A(t)=λ×t, das Minuszeichen ist weggefallen, der Bruch hat sich umgekehrt. Nun teilen wir noch auf beiden Seiten der Gleichung durch t, sodass sich für λ der Ausdruck ergibt: λ=1÷t×ln(A0÷A(t)). So, und bald sind wir am Ziel. Wir können nun mithilfe dieser neuen Formel λ berechnen, und dieses λ in die erste Formel für die Halbwertzeit einsetzen und die Halbwertzeit berechnen. So, um λ zu berechnen, setzen wir in die untere Formel Zahlen ein. Da steht dann: λ ist gleich 1÷7 Stunden × ln(4,2×106 Bq÷3,7×106 Bq). Nach Berechnen des Logarithmus steht da: λ = 1÷7×0,127×Stunde^-1. Die Stunde^-1 drückt einfach nur aus, dass die Stunde unter dem Bruchstrich steht. Und rechnen wir das alles nun mit dem Taschenrechner aus, dann ergibt sich λ=0,018 pro Stunde. In diesem Falle nicht zwangsläufig notwendig, aber immer wieder schön, ist die Umrechnung von Stunden in Sekunden, und es ergibt sich die Zahl 5,03×10^-6×sek^-1 = λ. Diesen Wert für λ setzen wir nun in die obere Gleichung ein. Da steht nun: t½=ln2÷(5,03×10^-6), und die Sekunden, die vorher unter dem Bruchstrich standen, als Sekunden^-1, kommen nun über den Bruchstrich. Für den ln2 schreiben wir 0,693 und die 10^-6 können wir ebenfalls über den Bruchstrich setzen, indem wir das Minuszeichen wegnehmen. Und rechnen wir das nun alles aus, dann ergibt sich der Wert 1,38×105 Sekunden ist gleich unsere Halbwertzeit. Der Antwortsatz lautet also: Die Halbwertzeit dieser Substanz beträgt 1,38×105 Sekunden, also 138.000 Sekunden oder aber ungefähr 38,3 Stunden.

Zur Wiederholung noch ein Mal ein paar Worte zur verwendeten Strategie bei der Lösung dieser Aufgabe. Gesucht war die Halbwertzeit t½. Reflexartig viel uns dazu ein, dass t½ ja das Selbe ist wie ln2÷λ. λ ist die Zerfallskonstante und in dieser Aufgabe leider nicht gegeben. Zum Glück viel reflexartig unser geistiger Blick auf das Zerfallsgesetz, und zwar auf das aktivitätsbezogene Zerfallsgesetz A(t)=A0×e^- λt. Wir haben also 2 Gleichungen, die wir Gleichung 1 und Gleichung 2 nennen wollen und außerdem noch die gegebenen Größen A0, A(t) und t. Die nun folgenden Schritte zur Lösung der Aufgabe kann man nun folgendermaßen formulieren: Umstellung von Gleichung 2 nach λ. Dann die Berechnung von λ, indem Zahlen eingesetzt werden und dann das Einsetzen des Wertes von λ, den wir auf diese Weise gefunden haben, in Gleichung 1. Dadurch kann dann t½ berechnet werden.

Und damit sind wir auch schon am Ende der Übung angelangt. Vielen Dank fürs Mitmachen, tschüss und bis zum nächsten Mal.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Ok, hat sich erledigt.. hatte noch nicht das ganze Video geschaut..

    Von Joachim Schulten, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Warum wird hier das "t" nicht wie im ersten Video auch in Sekunden umgerechnet ?

    Von Joachim Schulten, vor fast 4 Jahren