FIBONACCI - Zahlen (5) Große aromatische Zickzack - Moleküle

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik und vielleicht auch der Chemie.

Ich begrüße euch ganz herzlich zum Video Fibonacci-Zahlen Teil 5.
Heute geht es um große aromatische Zickzack-Moleküle. Bei aromatischen Zickzack-Molekülen sind die Sechsringe nicht gerade, sondern im Zickzack-Muster angeordnet, ganz im Gegensatz zu den gerade strukturierten aromatischen Sechsring-Molekülen, wo die Sechsringe genau in einer Reihe wie an einer Schnur aufgefädelt sind. Die Anzahl der Kekule-Strukturen in den Zickzack-Molekülen gehorchen der Fibonacci-Zahlenfolge, während bei den geraden Molekülen eine einfache, lineare Abhängigkeit zu beobachten ist. Bei den Zickzack-Molekülen erhält man jeweils durch Addition zweier Zahlen die nächste, also: 2+3=5 und: 3+5=8 und: 5+8=13 und:8+13=21. Wichtig für den Chemiker ist zu wissen, dass die Bindungsenergie in so einem Molekül proportional zum natürlichen Logarithmus der Kekule-Strukturen ist.

Zum besseren Verständnis und für die weiteren Überlegungen zeichne ich eine kleine Wertetabelle, in die ich in die eine Zeile n eintrage, von 0 bis 4, und in die andere Zeile die gliedernde Zahlenfolge nach Fibonacci, an: 0, 1, 1, 2 und 3. Mit Rot habe ich jene Werte notiert, nämlich 2 und 3, die wir auch bei unseren Zickzack-Molekülen beobachten. Darunter notiere ich die Ringzahl (R). Sie ist erst relevant für an 2 und 3. Dort haben wir nämlich die Ringzahlen 1 und 2. Zwischen n und R, der Ringzahl, besteht der Zusammenhang: n=R+2.
an ist gleich der Anzahl der Kekule-Strukturen (K). Somit ist es möglich, die Anzahl der Kekule-Strukturen (K) zu berechnen, wenn man die Ringzahl (R) kennt. Wir benutzen dafür die Formel von Moivre-Binet.
Sie lautet in modifizierter Form: K=1÷\sqrt5[((1+\sqrt5)÷2)^(R+2)-((1-\sqrt5)÷2)^(R+2)].

Um die Stabilität eines Moleküls besser beurteilen zu können, reicht es nicht nur aus die gesamte Bindungsenergie zu berechnen, sondern besser noch Energie pro Kohlenstoffatom beziehungsweise Elektron. Also: E dividiert durch Z(C), der Anzahl der Kohlenstoffatome. Dieser Wert ist proportional zu lnK÷Z(C). Die Anzahl der Kohlenstoffatome Z(C) ist gleich 4R+2, was man am Beispiel des Benzols, sechs Kohlenstoffatome, und am Beispiel des Naphthalins einfach zeigen kann (siehe unten). Somit ergibt sich als Energie pro Kohlenstoffatom: E÷Z(C) ist proportional zu lnK÷(4R+2).

Den Term unten rechts wollen wir berechnen. Vor allem interessiert er uns, wenn R große Werte einnimmt, sozusagen gegen den Grenzwert geht für R gegen unendlich. Ich werde oben rechts eine kleine Arbeitstabelle erstellen. Und zwar nehme ich für die Ringzahl (R) 10, dann erhalte ich nach der Formel von Moivre-Binet 144 Kekule-Strukturen. Der Wert lnK÷(4R+2), der ein Maß für die Bindungsenergie pro Elektron darstellt, beträgt hier 0,118.
Eine analoge Rechnung möchte ich für eine Ringzahl, R=100, durchführen. K ist mit dem Taschenrechner nicht mehr genau bestimmbar, beträgt etwa 2,07×10^21. Wenn wir lnK÷(4R+2) berechnen, so erhalten wir 0,120.

Nun wollen wir langkettige Zickzack-Moleküle mit langkettigen geraden aromatischen Molekülen vergleichen. Wir verwenden dafür den Grenzwert von lnK÷(4R+2) für R, die Ringanzahl, gegen unendlich. Für lange Zickzack-Moleküle können wir den Wert aus der Tabelle notieren: 0,120. Beim Grenzwert für die geraden Moleküle können wir folgendermaßen argumentieren: Im Nenner steht 4R+2, das heißt, der Nenner steigt linear in Abhängigkeit von R. Die Anzahl der Kekule-Strukturen (K) ändert sich auch linear in Abhängigkeit von R. Wir bilden aber davon den Logarithmus. Da der Logarithmus gegen unendlich geht und im Nenner eine positive lineare Funktion gegen unendlich geht, muss der Grenzwert, laut unseren Kenntnissen der Analysis, gegen 0 gehen.

Was sagt das Experiment über Zickzack-Moleküle und gerade aromatische Moleküle aus?
Zickzack-Moleküle bleiben mit zunehmender Kettenlänge stabil. Im Unterschied dazu nimmt die Stabilität der geraden Moleküle mit zunehmender Kettenlänge ab. Langkettige Moleküle sind äußerst instabil.
Das ist ein großer Erfolg der Theorie. Sie bestätigt das Experiment.

Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!