Beispielaufgabe Konsumentscheidung und Güterarten - Aufgabe mit 3 Gütern

Herzlich willkommen zu diesem Video. Heute wollen wir die Erkenntnisse aus den anderen Videos zur optimalen Konsumentscheidung in einer umfangreichen Aufgabe anwenden. Wir haben 3 Güter, eine Nutzenfunktion x1^2×x2+x3. Der Preis von Gut 3 ist immer 1. Das heißt, man spricht von einem Numéraire. Außerdem haben wir ein Einkommen m, p1 und p2.
Wir sollen jetzt die Budgetgleichung aufstellen, das Nutzenmaximierungsproblem allgemein mit Lagrange lösen, bestimmen, ob Gut 2 ein gewöhnliches oder ein Giffen-Gut ist, ob Gut 2 ein Brutto-Substitut oder Brutto-Komplement zu Gut 1 ist. Wir sollen bestimmen, ob Gut 3 ein normales oder ein inferiores Gut ist und schließlich für ein Beispiel das optimale Konsumbündel aufstellen und den Nutzen im Optimum berechnen.
Kommen wir zum Aufgabenteil a. Die Budgetgleichung mit 3 Gütern sieht natürlich ganz ähnlich aus wie die Budgetgleichung bei 2 Gütern. Sie lautet: p1x1+p2x2+p3x3, wobei p3 in diesem Fall 1 ist, also p1x1+p2x2+x3=m. Das ist die Budgetrestriktion in diesem Fall mit 3 Gütern.
Kommen wir zu Aufgabenteil b. Wir sollen das Nutzenmaximierungsproblem mit Lagrange lösen. Ich stelle also wie immer die Lagrangefunktion auf und bilde die Ableitung. In diesem Fall brauche ich aber eine Ableitung mehr. Einmal nach x1, nach x2, nach x3, das ist neu und nach ?. Die Lagrangefunktion lautet also: x1^2×x2+x3+?(m-p1x1-p2x2-x3). Kommen wir zu den Ableitungen. Die Ableitung nach x1 ist: 2x1x2-?p1. Die Ableitung nach x2 ist: x1^2-?p2. Die Ableitung nach x3 ist: 1-?. Und die Ableitung nach ? führt wieder zu unserer Budgetrestriktion:m-p1x1-p2x2-x3. Alle diese Ableitungen seien gleich 0. Diesmal haben wir also 4 Bedingungen erster Ordnung. Um das Gleichungssystem zu lösen, ergeben sich also noch mal in kurzer Schreibweise diese 4 Gleichungen. Aus der dritten Gleichung sieht man schnell: ?=1. Das eingesetzt in die zweite Gleichung, führt zu x1*. X1* ist dann nämlich \sqrt p2. Wenn ich diese beiden Ergebnisse jetzt in die erste Gleichung einsetze, so führt dies zu x2*. 2\sqrt p2x2-p1=0. X2* ist also: p1÷2\sqrt p2. X1* und x2*, eingesetzt in meine Budgetrestriktion führen dann zu x3*. X3*=m-p1×/sqrt p2-p2×p1÷2\sqrt p2. Das vereinfache ich. X3* ist also:m-3/2p1\sqrt p2.
Im Aufgabenteil c soll nun überprüft werden, ob Gut 2 ein gewöhnliches oder ein Giffen-Gut ist. Das heißt, wie brauchen die Ableitung von x2 nach p2. Es wird nämlich untersucht, ob der Konsum von x2 steigt oder sinkt, wenn sich der Preis von diesem Gut verändert. Wir brauchen also die Ableitung von x2 nach p2. X2 kann ich auch umschreiben zu ½p1p2^-½. Die Ableitung ist also: -½×½p1p2^-3/2. ½p1 ist auf jeden Fall größer 0. p2^-3/2 ist ebenfalls größer 0. -½ ist kleiner 0, damit ist die ganze Ableitung kleiner 0 und es handelt sich um ein gewöhnliches Gut.
In Aufgabenteill d sollen wir nun entscheiden, ob es ein Brutto-Substitut oder ein Brutto-Komplement zu Gut 1 ist. Dafür brauchen wir die Ableitung von x2 nach p1. Die ist einfach ½p2^-½ und damit größer 0. Wenn der Preis von Gut 1 also steigt, steigt der Konsum von Gut 2. Damit ist es ein Brutto-Substitut zu Gut 1.
Aufgabenteil e ist nun sehr einfach. Wir sollen herausfinden, ob Gut 3 normal oder inferior it. Dafür brauchen wir einfach die Ableitung von x3 nach m. Einfach deswegen, weil die Ableitung 1 ist, damit größer 0 und damit handelt es sich um ein normales Gut.
Im letzten Teil dieser Aufgabe geht es nun darum, Zahlen einzusetzen. P1=8, p2=4 und m=30. Berechnen wir also x1*,x2*,x3* und den Nutzen im Optimum. x1* ist \sqrt p2, damit also \sqrt4, also 2. X2* p1÷2\sqrt p2, damit 8÷2×\sqrt4, also 8÷4, also 2. X3*=m-3/2p1\sqrt p2, also 30-3/2×8×\sqrt4. 8×\sqrt4=16, 16×3=48÷2=24. 30-24=6. Unser optimales Konsumbündel sieht also 2 Einheiten x1 vor, 2 Einheiten x2 und 5 Einheiten von x3. Um den Nutzen im Optimum zu bestimmen, setzen wir diese Zahlen nun einfach in die Nutzenfunktion ein, also: 2^2×2+6. 4×2=8+6=14.
Das war eine umfangreiche Aufgabe zum Kapitel "optimale Konsumentscheidung".